Найти экстремумы функции f(x)=x^3+3/x-12

Чтобы найти экстремумы функции f(x) = x^3 + 3/x - 12, нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует.

Сначала найдем производную функции: f'(x) = 3x^2 - 3/x^2

Чтобы найти значения x, при которых производная равна нулю, решим уравнение f'(x) = 0: 3x^2 - 3/x^2 = 0

Умножим обе части уравнения на x^2: 3x^4 - 3 = 0

Добавим 3 к обеим частям уравнения: 3x^4 = 3

Разделим обе части уравнения на 3: x^4 = 1

Возведем в четвертую степень обе части уравнения: x = ±1

Теперь проверим, существуют ли экстремумы при значениях x = ±1. Для этого найдем вторую производную функции f''(x):

f''(x) = 6x + 6/x^3

Подставим x = 1 в f''(x): f''(1) = 6(1) + 6/(1^3) = 6 + 6 = 12

Подставим x = -1 в f''(x): f''(-1) = 6(-1) + 6/(-1)^3 = -6 + 6 = 0

Таким образом, f(x) имеет минимум при x = -1 и не имеет максимума в точке x = 1.

Итак, экстремумы функции f(x) = x^3 + 3/x - 12: минимум в точке x = -1.