Найти интервалы возростания и убывания функции f(x)=2x^3-9x^2+12x-2
Для нахождения интервалов возрастания и убывания функции f(x), необходимо найти её производную и определить знаки производной на различных интервалах.
Начнем с нахождения производной функции f(x): f'(x) = 6x^2 - 18x + 12
Далее, найдем критические точки, где производная равна нулю: 6x^2 - 18x + 12 = 0
Факторизуем это уравнение: 6(x^2 - 3x + 2) = 0 6(x - 1)(x - 2) = 0
Из полученного уравнения, получаем две критические точки: x = 1 и x = 2.
Теперь, чтобы определить знаки производной на различных интервалах, можно взять точки, находящиеся внутри и вне этих интервалов:
- Для x < 1, возьмем x = 0 Подставляем x = 0 в производную: f'(0) = 6(0^2) - 18(0) + 12 f'(0) = 12
Так как f'(0) > 0, то производная положительна на интервале x < 1. Это означает, что функция f(x) возрастает на этом интервале.
- Для 1 < x < 2, возьмем x = 1.5 (значение между 1 и 2) Подставляем x = 1.5 в производную: f'(1.5) = 6(1.5^2) - 18(1.5) + 12 f'(1.5) = -3
Так как f'(1.5) < 0, то производная отрицательна на интервале 1 < x < 2. Это означает, что функция f(x) убывает на этом интервале.
- Для x > 2, возьмем x = 3 Подставляем x = 3 в производную: f'(3) = 6(3^2) - 18(3) + 12 f'(3) = 42
Так как f'(3) > 0, то производная положительна на интервале x > 2. Это означает, что функция f(x) возрастает на этом интервале.
Таким образом, интервалы возрастания и убывания функции f(x) можно представить следующим образом:
- Функция возрастает на интервале (-∞, 1) и (2, +∞)
- Функция убывает на интервале (1, 2)
