что такое перпендикуляр?

Кратко: перпендикуляр — это две прямые, которые пересекаются под прямым углом, то есть образуют угол 90 градусов.

Развернутое объяснение

• Что это значит:

  • Две прямые пересекаются и угол между ними равен 90°.
  • Если две прямые перпендикулярны, они образуют четыре равных «правых» угла в месте пересечения.

• Как это записывают:

  • Обозначают так: AB ⟂ CD, если прямая AB перпендикулярна прямой CD.

• Как проверить перпендикулярность (для школьной геометрии):

  1. По наклонам (коэффициентам прямых):
     • Если две прямые заданы вида y = m1 x + b1 и y = m2 x + b2 (m1 и m2 — их наклоны), то они перпендикулярны тогда, когда m1 * m2 = -1 (и обе не горизонтальные).
     • Примеры:
       • y = 2x + 3 и y = -1/2 x + 7 — перпендикулярны (2 * -1/2 = -1).
       • y = 3x + 1 и y = 3x - 2 — не перпендикулярны (наклоны равны, они параллельны).
  2. Специальные случаи:
     • Горизонтальная прямая перпендикулярна вертикальной: если одна прямая y = b (наклон 0), другая должна быть x = a (вертикальная).
     • Вертикальная прямая перпендикулярна горизонтальной, как указано выше.
  3. По коэффициентам линейного уравнения ax + by + c = 0:
     • Две прямые ax + by + c = 0 и a'x + b'y + c' = 0 перпендикулярны тогда, когда aa' + bb' = 0.
     • Это потому что векторы нормалей к прямым (a, b) и (a', b') должны быть перпендикулярны.
     • Пример: линии 2x + y + 1 = 0 и -y + 4x + 2 = 0 имеют нормали (2,1) и (4,-1): 24 + 1(-1) = 8 - 1 = 7 ≠ 0 — не перпендикулярны. Если бы сумма была 0, то перпендикулярны.
  4. Геометрически:
     • Можно построить или проверить угол между двумя прямыми на чертеже: если угол около пересечения равен 90°, тогда они перпендикулярны.

• Перпендикулярная прямая к заданной через данную точку:

  • Пусть дана прямая y = m x + b и есть точка P(x0, y0).
  • Прямая через P, перпендикулярная данной, имеет наклон -1/m (если m ≠ 0): y - y0 = (-1/m)(x - x0).
  • Если задана вертикальная прямая (x = a), то любая перпендикулярная ей прямая — горизонтальная: y = y0.
  • Если задана горизонтальная прямая (y = b), то перпендикулярная ей прямая — вертикальная: x = x0.

• Небольшие примеры:

  1. Проверка по наклонам:
     • Прямые y = -3x + 4 и y = (1/3)x - 2 — перпендикулярны, потому что (-3) * (1/3) = -1.
  2. Горизонтальная и вертикальная:
     • y = 5 и x = -3 — перпендикулярны.
  3. Проверка по общим уравнениям:
     • Пусть линии имеют уравнения 2x + y + 7 = 0 и 4x - y + 1 = 0.
     • Их нормали: (2,1) и (4,-1). Скалярное произведение равно 24 + 1(-1) = 8 - 1 = 7 ≠ 0 — не перпендикулярны.

Коротко для запоминания

• Перпендикулярность означает угол 90°.
• В плоскости: m1*m2 = -1 (если оба не вертикальные).
• Вертикальная ⟂ горизонтальная.
• Для общего уравнения ax + by + c = 0: перпендикулярны, если aa' + bb' = 0.