Что такое перпендикуляр?

Кратко: перпендикуляр — это две прямые, которые пересекаются под прямым углом, то есть образуют угол 90 градусов. Развернутое объяснение - Что это значит: - Две прямые пересекаются и угол между ними равен 90°. - Если две прямые перпендикулярны, они образуют четыре равных «правых» угла в месте пересечения. - Как это записывают: - Обозначают так: AB ⟂ CD, если прямая AB перпендикулярна прямой CD. - Как проверить перпендикулярность (для школьной геометрии): 1) По наклонам (коэффициентам прямых): - Если две прямые заданы вида y = m1 x + b1 и y = m2 x + b2 (m1 и m2 — их наклоны), то они перпендикулярны тогда, когда m1 * m2 = -1 (и обе не горизонтальные). - Примеры: - y = 2x + 3 и y = -1/2 x + 7 — перпендикулярны (2 * -1/2 = -1). - y = 3x + 1 и y = 3x - 2 — не перпендикулярны (наклоны равны, они параллельны). 2) Специальные случаи: - Горизонтальная прямая перпендикулярна вертикальной: если одна прямая y = b (наклон 0), другая должна быть x = a (вертикальная). - Вертикальная прямая перпендикулярна горизонтальной, как указано выше. 3) По коэффициентам линейного уравнения ax + by + c = 0: - Две прямые ax + by + c = 0 и a'x + b'y + c' = 0 перпендикулярны тогда, когда a*a' + b*b' = 0. - Это потому что векторы нормалей к прямым (a, b) и (a', b') должны быть перпендикулярны. - Пример: линии 2x + y + 1 = 0 и -y + 4x + 2 = 0 имеют нормали (2,1) и (4,-1): 2*4 + 1*(-1) = 8 - 1 = 7 ≠ 0 — не перпендикулярны. Если бы сумма была 0, то перпендикулярны. 4) Геометрически: - Можно построить или проверить угол между двумя прямыми на чертеже: если угол около пересечения равен 90°, тогда они перпендикулярны. - Перпендикулярная прямая к заданной через данную точку: - Пусть дана прямая y = m x + b и есть точка P(x0, y0). - Прямая через P, перпендикулярная данной, имеет наклон -1/m (если m ≠ 0): y - y0 = (-1/m)(x - x0). - Если задана вертикальная прямая (x = a), то любая перпендикулярная ей прямая — горизонтальная: y = y0. - Если задана горизонтальная прямая (y = b), то перпендикулярная ей прямая — вертикальная: x = x0. - Небольшие примеры: 1) Проверка по наклонам: - Прямые y = -3x + 4 и y = (1/3)x - 2 — перпендикулярны, потому что (-3) * (1/3) = -1. 2) Горизонтальная и вертикальная: - y = 5 и x = -3 — перпендикулярны. 3) Проверка по общим уравнениям: - Пусть линии имеют уравнения 2x + y + 7 = 0 и 4x - y + 1 = 0. - Их нормали: (2,1) и (4,-1). Скалярное произведение равно 2*4 + 1*(-1) = 8 - 1 = 7 ≠ 0 — не перпендикулярны. Коротко для запоминания - Перпендикулярность означает угол 90°. - В плоскости: m1*m2 = -1 (если оба не вертикальные). - Вертикальная ⟂ горизонтальная. - Для общего уравнения ax + by + c = 0: перпендикулярны, если a*a' + b*b' = 0.