Окружность с радиусом 195 касается гипотенузы прямоугольного треугольника и продолжений его катетов, а высота этого треугольника, опущенной на гипотенузу равна 60 см. Найдите наибольший из катетов такого треугольника

Задача: прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c. Дано, что высота h, опущенная на гипотенузу, равна 60 см, а окружность радиуса R = 195 см касается гипотенузы и продолжений катетов. Найдите наибольший катет. Аналитика и решение 1) Геометрическая интерпретация - Окружность радиуса R, касающаяся гипотенузы и продолжений катетов, является экс cirкle, противолежащим углу прямого треугольника (эксцентр против прямого угла). Это эксцентр против угла C (если C — прямой угол). - Формула эксприс повода для эксцентра против угла C: R = Δ / (s - c), где Δ — площадь треугольника, s — полупериметр, a, b, c — стороны треугольника, а c — гипотенуза. Δ = (1/2)ab, s = (a + b + c)/2. Тогда R = Δ / (s - c) = (ab/2) / ((a + b + c)/2 - c) = ab / (a + b - c). 2) Обозначения - Пусть a и b — катеты, c = √(a^2 + b^2) — гипотенуза. - Пусть p = a + b, q = ab. - Высота к гипотенузе h равна: h = (ab)/c = q / c. По условию h = 60, значит c = q / 60. - Экскоррект R равен: R = ab / (a + b - c) = q / (p - c). По условию R = 195, значит q / (p - c) = 195. 3) Подстановка и система уравнений - Так как c = q/60, из второго уравнения: p - c = p - q/60 = q / 195 => p = q/60 + q/195 = q(1/60 + 1/195) = q·(255/11700) = q·(17/780). Значит p = (17/780) q. - Из первого условия: c^2 = a^2 + b^2 = p^2 - 2q. Но c = q/60, поэтому (q/60)^2 = p^2 - 2q => p^2 = 2q + q^2/3600. - Подставим p = (17/780)q в последнее уравнение: (17q/780)^2 = 2q + q^2/3600 289 q^2 / 608400 = 2q + q^2 / 3600. - Умножим на 608400: 289 q^2 = 1{,}216{,}800 q + 169 q^2 => (289 - 169) q^2 = 1{,}216{,}800 q => 120 q^2 = 1{,}216{,}800 q. Так как q > 0, делим на q: 120 q = 1{,}216{,}800 => q = 1{,}216{,}800 / 120 = 10{,}140. - Найдём c: c = q/60 = 10140 / 60 = 169. - Найдём p: p = (17/780) q = (17/780)·10140 = 221. 4) Найдём сами катеты - Катеты a и b являются корнями уравнения t^2 − p t + q = 0: t^2 − 221 t + 10140 = 0. - Дискриминант: D = 221^2 − 4·10140 = 48{,}841 − 40{,}560 = 8{,}281 = 91^2. - Корни: t = (221 ± 91)/2 → t1 = 156, t2 = 65. 5) Ответ - Катеты: 156 см и 65 см. Наибольший катет равен 156 см. Проверка: - Площадь Δ = (1/2) ab = (1/2)·156·65 = 5070. - Полупериметр s = (a + b + c)/2 = (156 + 65 + 169)/2 = 390/2 = 195. - Рекурсивная формула для R: R = Δ / (s - c) = 5070 / (195 - 169) = 5070 / 26 = 195. Верно. - Высота h к гипотенузе: h = ab / c = 10140 / 169 = 60. Верно. Ответ: наибольший катет равен 156 см.