Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=-1/3^3+7/2x^2-10x+9 [0;3]
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) в заданном интервале [0;3], нам нужно проанализировать первую и вторую производные функции.
Найдем первую производную функции f(x): f'(x) = (d/dx) (-1/3x^3 + 7/2x^2 - 10x + 9) = -3/3x^2 + 7x - 10 = -x^2 + 7x - 10
Найдем корни первой производной, чтобы найти стационарные точки: -x^2 + 7x - 10 = 0 (x - 2)(x - 5) = 0
Таким образом, у нас есть две стационарные точки x=2 и x=5.
- Теперь, чтобы определить, является ли эта точка минимумом или максимумом, мы можем взять вторую производную функции f(x).
Найдем вторую производную функции f(x): f''(x) = (d^2/dx^2) (-1/3x^3 + 7/2x^2 - 10x + 9) = (d/dx) (-2x + 7) = -2
Значение второй производной f''(x) константное и равно -2.
Теперь мы можем сделать вывод:
- Если f''(x) < 0, это означает, что у функции максимум.
- Если f''(x) > 0, это означает, что у функции минимум.
В нашем случае f''(x) = -2 < 0, поэтому точка x=2 будет представлять максимум, а x=5 - минимум.
- Определим значение функции на концах интервала [0;3]. Вычислим f(0) и f(3):
f(0) = -1/3(0)^3 + 7/2(0)^2 - 10(0) + 9 = 9 f(3) = -1/3(3)^3 + 7/2(3)^2 - 10(3) + 9 = 0
Таким образом, наибольшее значение функции f(x) в интервале [0;3] равно 9 и достигается в точке x=0, а наименьшее значение равно 0 и достигается в точке x=3.
