Найдите остатки от деления а) 1990 · 1991 · 1992 · 1993 на 7; б) 9 5 на 8.
Задача: найти остатки от деления а) 1990 · 1991 · 1992 · 1993 на 7; б) 9^5 на 8 (если вместо возведения в степень имелось в виду именно 9^5; если же это 95, то другой ответ).
Решение
а) Остаток от произведения 1990·1991·1992·1993 по модулю 7
- Уменьшим каждый множитель по модулю 7:
- 1990 ≡ 2 (mod 7) (потому что 1990 = 7·284 + 2)
- 1991 ≡ 3 (mod 7)
- 1992 ≡ 4 (mod 7)
- 1993 ≡ 5 (mod 7)
- Перемножим остатки: 2 · 3 · 4 · 5 = (2·3) · (4·5) = 6 · 20 Но удобнее последовательно: 2·3 ≡ 6 (mod 7) 6·4 ≡ 24 ≡ 24 − 21 = 3 (mod 7) 3·5 ≡ 15 ≡ 15 − 14 = 1 (mod 7)
Итого остаток равен 1.
Ответ для а): 1.
б) Остаток от 9^5 по модулю 8 Вариант 1 — если задача действительно 9^5:
- 9 ≡ 1 (mod 8)
- 9^5 ≡ 1^5 ≡ 1 (mod 8)
Ответ: 1.
Вариант 2 — если имелось в виду число 95 (а не 9^5):
- 95 ≡ 95 − 88 = 7 (mod 8)
Ответ: 7.
Итого:
- а) остаток 1;
- б) если это 9^5, остаток 1; если это 95, остаток 7.
Если подтвердите, какой именно вариант б требуется, подскажу окончательный ответ без вариантов.
Обсуждение
2 сообщенияНайдите остатки от деления а) 1990 · 1991 · 1992 · 1993 на 7; б) 9⁵ на 8. сделай это задание как для 7 класса
Хорошо, давайте решим эту задачу, как для 7 класса.
а) Найдем остаток от деления 1990 · 1991 · 1992 · 1993 на 7.
Сначала найдем остаток от деления каждого числа на 7.
- 1990 ÷ 7 = 284 (остаток 2) → 1990 ≡ 2 (mod 7)
- 1991 ÷ 7 = 284 (остаток 3) → 1991 ≡ 3 (mod 7)
- 1992 ÷ 7 = 284 (остаток 4) → 1992 ≡ 4 (mod 7)
- 1993 ÷ 7 = 284 (остаток 5) → 1993 ≡ 5 (mod 7)
Теперь перемножим остатки: \[ 2 · 3 · 4 · 5 \]
Сначала перемножим 2 и 3: \[ 2 · 3 = 6 \]
Теперь перемножим 6 на 4: \[ 6 · 4 = 24 \]
Теперь берем остаток от 24 при делении на 7: \( 24 ÷ 7 = 3 \) (остаток 3) → \( 24 \equiv 3 \) (mod 7)
Теперь перемножим 3 на 5: \[ 3 · 5 = 15 \]
И последний шаг — находим остаток от 15 при делении на 7: \( 15 ÷ 7 = 2 \) (остаток 1) → \( 15 \equiv 1 \) (mod 7)
Таким образом, остаток от деления \( 1990 · 1991 · 1992 · 1993 \) на 7 равен 1.
б) Найдем остаток от деления \( 9^5 \) на 8.
Сначала найдем остаток от деления 9 на 8: \[ 9 ÷ 8 = 1 \quad (остаток 1) \quad → \quad 9 \equiv 1 \quad (mod 8) \]
Теперь поднимем этот остаток в пятую степень: \[ 9^5 \equiv 1^5 \equiv 1 \quad (mod 8) \]
Таким образом, остаток от деления \( 9^5 \) на 8 равен 1.
Ответы:
- а) Остаток от деления \( 1990 · 1991 · 1992 · 1993 \) на 7: 1.
- б) Остаток от деления \( 9^5 \) на 8: 1.
