?

Привет! Давай попробуем вместе решить эту задачу. Нам нужно найти первообразную функции \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{9+x^2}} \).

Первообразная функции – это такая функция F(x), производная которой равна данной функции f(x). То есть, если \( F'(x) = f(x) \), тогда F(x) является первообразной для f(x).

В данном случае, функция под интегралом похожа на производную арктангенса, так как производная от \( arctan(x) \) равна \( \frac{1}{1+x^2} \). Чтобы подобрать подходящую первообразную, нам нужно сравнить нашу функцию с производной арктангенса, взяв во внимание, что у нас в знаменателе \( \sqrt{9+x^2} \), а не \( 1+x^2 \).

Для этого давай преобразуем нашу функцию так, чтобы она больше походила на производную арктангенса. Если вынести \( \sqrt{9} \) из-под корня, получится \( \frac{1}{3}\sqrt{1+\left(\frac{x}{3}\right)^2} \). Теперь если у нас будет \( arctan\left(\frac{x}{3}\right) \), то его производная будет \( \frac{1}{1+\left(\frac{x}{3}\right)^2} \), что нужно домножить на производную внутренней функции \( \frac{x}{3} \), то есть на \( \frac{1}{3} \).

Следовательно, первообразная нашей функции будет ( \frac{1}{3}arct