?
Хорошо, давай разбираться вместе. Перед нами вопрос с теста, который касается интегрирования функции. Нам нужно найти первообразную функции \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{9 + x}} \).
Чтобы интегрировать эту функцию, вспомним, что интеграл от \( \frac{1}{\sqrt{a + x}} \) есть \( \frac{2}{\sqrt{a}} \arcsin \left( \frac{x}{\sqrt{a}} \right) + C \), но это не подходит к нашему случаю, так как \( f(x) \) не выглядит как функция под знаком арксинуса.
Здесь лучше использовать замену переменных, чтобы упростить интегрирование. Сделаем замену \( t = 9 + x \). Тогда \( dt = dx \), и наш интеграл принимает вид:
\( \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt \)
Это типовой интеграл, который равен \( 2\sqrt{t} + C \). Теперь возвращаемся к переменной \( x \):
\( 2\sqrt{9 + x} + C \)
Давай посмотрим, какой ответ соответствует нашему решению в предложенных вариантах:
- \( \frac{2}{3}\sqrt{9 + x} + C \) — неправильно, коэффициент перед корнем не соответствует нашему решению.
- \( 2\sqrt{9 + x} + C \) — вот это верный ответ, как мы только что вывели.
- \( \frac{1}{3}\sqrt{9 + x} + C \) — неправильно, аналогично первому вариан
