Найдите корни уравнения: x³ - 7x² + 14x - 8 = 0. Укажите все решения и покажите ход решения.

Задача: Найдите корни уравнения x³ - 7x² + 14x - 8 = 0 и покажите ход решения. 1) Попробуем рациональные корни По теореме о рациональных корнях возможны делители свободного члена (±1, ±2, ±4, ±8). Проверяем их на полином: - f(1) = 1 - 7 + 14 - 8 = 0 → x = 1 является корнем и (x - 1) является множителем. 2) Разложение на множители (деление многочлена) Разделим x³ - 7x² + 14x - 8 на (x - 1). Можно сделать синтетическое деление: Коэффициенты: 1, -7, 14, -8 Пусть корень 1. Получаем частный многочлен: x² - 6x + 8 3) Разложение квадратичного множителя x² - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4) 4) Полное разложение и корни x³ - 7x² + 14x - 8 = (x - 1)(x - 2)(x - 4) Следовательно, все корни: - x = 1 - x = 2 - x = 4 5) Проверка (по желанию) Подставим корни в исходное уравнение: - f(1) = 0, f(2) = 8 - 28 + 28 - 8 = 0, f(4) = 64 - 112 + 56 - 8 = 0. Дополнительная проверка целостности: сумма корней 1 + 2 + 4 = 7, что совпадает со знаком в коэффициенте x² (7), и произведение корней 1·2·4 = 8, совпадает с свободным членом по формуле произведения корней. Ответ: корни x = 1, 2, 4.