Найдите корни уравнения: x³ - 7x² + 14x - 8 = 0. Укажите все решения и покажите ход решения.

Задача: Найдите корни уравнения x³ - 7x² + 14x - 8 = 0 и покажите ход решения.

1. Попробуем рациональные корни По теореме о рациональных корнях возможны делители свободного члена (±1, ±2, ±4, ±8). Проверяем их на полином:

• f(1) = 1 - 7 + 14 - 8 = 0 → x = 1 является корнем и (x - 1) является множителем.

2. Разложение на множители (деление многочлена) Разделим x³ - 7x² + 14x - 8 на (x - 1). Можно сделать синтетическое деление:

Коэффициенты: 1, -7, 14, -8 Пусть корень 1.

Получаем частный многочлен: x² - 6x + 8

3. Разложение квадратичного множителя x² - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)

4. Полное разложение и корни x³ - 7x² + 14x - 8 = (x - 1)(x - 2)(x - 4)

Следовательно, все корни:

• x = 1
• x = 2
• x = 4

5. Проверка (по желанию) Подставим корни в исходное уравнение:

• f(1) = 0, f(2) = 8 - 28 + 28 - 8 = 0, f(4) = 64 - 112 + 56 - 8 = 0.

Дополнительная проверка целостности: сумма корней 1 + 2 + 4 = 7, что совпадает со знаком в коэффициенте x² (7), и произведение корней 1·2·4 = 8, совпадает с свободным членом по формуле произведения корней.

Ответ: корни x = 1, 2, 4.