(1+cos4x)sin2x=cos²2x

Цель: понять решение задачи по алгебре/тригонометрии для 11 класса.

Задача: (1 + cos 4x) sin 2x = cos^2 2x

Пошаговое решение

1. Применим тригонометрическую идентичность для cos 4x: cos 4x = 2 cos^2(2x) − 1. Тогда 1 + cos 4x = 1 + (2 cos^2(2x) − 1) = 2 cos^2(2x).

2. Подставим в выражение: (1 + cos 4x) sin 2x = [2 cos^2(2x)] sin 2x = cos^2(2x).

3. Перенесём всё в одну сторону: 2 cos^2(2x) sin(2x) − cos^2(2x) = 0 cos^2(2x) [2 sin(2x) − 1] = 0.

4. Теперь разложим на два случая.

• Случай A: cos^2(2x) = 0 → cos(2x) = 0. Это даёт 2x = π/2 + kπ, где k ∈ Z. Следовательно, x = π/4 + kπ/2, k ∈ Z.

• Случай B: 2 sin(2x) − 1 = 0 → sin(2x) = 1/2. Решения для sin t = 1/2: t = π/6 + 2kπ или t = 5π/6 + 2kπ, k ∈ Z. Подставляя t = 2x, получаем: 2x = π/6 + 2kπ или 2x = 5π/6 + 2kπ => x = π/12 + kπ или x = 5π/12 + kπ, k ∈ Z.

Итоговые решения (для всех действительных x):

• x = π/4 + (π/2)k, k ∈ Z;
• x = π/12 + kπ, k ∈ Z;
• x = 5π/12 + kπ, k ∈ Z.

Эквивалентно в градусах:

• x = 45° + 90°k, k ∈ Z;
• x = 15° + 180°k, k ∈ Z;
• x = 75° + 180°k, k ∈ Z.