Корень1294

Задача: найти квадратный корень из числа 1294 ( √1294 ).

Пошаговое решение

1. Проверка на возможность упрощения под корнем

• 1294 = 2 × 647.
• 647 простое число (не делится на 2,3,5,7,11,13,17,19,23), следовательно разложение на квадратные множители отсутствует.
• Значит √1294 нельзя упростить до целого или рационального множителя под корнем. В радикале остаётся √(2·647).

2. Поиск промежука

• 35^2 = 1225, 36^2 = 1296.
• 1294 лежит между 1225 и 1296, поэтому √1294 находится между 35 и 36, ближе к 36 (поскольку 1294 очень близко к 1296).

3. Приближённое значение через аппроксимацию

• Запишем √1294 как √(1296 − 2) = 36 · √(1 − 2/1296).
• Для малых ε: √(1 − ε) ≈ 1 − ε/2. Здесь ε = 2/1296 ≈ 0.001543.
• Значит √1294 ≈ 36 · (1 − 0.001543/2) ≈ 36 · (1 − 0.0007715) ≈ 36 − 0.0278 ≈ 35.9722.

4. Более точное приближение (метод Ньютона)

• Пусть N = 1294, берём начальное x0 = 36.
• x1 = (x0 + N/x0) / 2 = (36 + 1294/36) / 2 = (36 + 35.944444...) / 2 = 35.972222...
• Далее значения сходятся к ≈ 35.97221... По ощущениям, sqrt(1294) ≈ 35.97221 (пять знаков после запятой).

Ответ

• Точное выражение: √1294 = √(2 · 647) (радикал несокращаемый).
• Приближённое значение: √1294 ≈ 35.97221.