x3-6x2-9x+54=0

Задача: x^3 - 6x^2 - 9x + 54 = 0

Цель — понять метод и получить корни.

1. Поиск целочисленных корней

• По теореме рациональных корней возможны делители 54: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18, ±27, ±54.
• Пробуем x = 3: f(3) = 3^3 - 6·3^2 - 9·3 + 54 = 27 - 54 - 27 + 54 = 0.
• Значит x = 3 является корнем, и многочлен можно разложить на (x - 3) умноженное на квадратичный.

2. Деление на (x - 3) (метод синтетического деления)

• Коэффициенты: 1, -6, -9, 54
• Synthetic division с корнем 3:
  • Приносим 1 → умножаем на 3 → 3; складываем: -6 + 3 = -3
  • Умножаем -3 на 3 → -9; складываем: -9 + (-9) = -18
  • Умножаем -18 на 3 → -54; складываем: 54 + (-54) = 0
• Получаем кубический разложение: x^3 - 6x^2 - 9x + 54 = (x - 3)(x^2 - 3x - 18)

3. Разложение квадратичного многочлена

• x^2 - 3x - 18 = 0
• Разложение на множители: ищем числа, которые умножаются на -18 и дают сумму -3 → -6 и +3
• Таким образом: x^2 - 3x - 18 = (x - 6)(x + 3)

4. Полное разложение и корни

• Итак, x^3 - 6x^2 - 9x + 54 = (x - 3)(x - 6)(x + 3) = 0
• Корни уравнения: x = 3, x = 6, x = -3

Альтернативный способ (группировка):

• x^3 - 6x^2 - 9x + 54 = (x^3 - 6x^2) + (-9x + 54) = x^2(x - 6) - 9(x - 6) = (x - 6)(x^2 - 9) = (x - 6)(x - 3)(x + 3)
• Те же корни: 3, 6, -3

Проверка:

• Подстановка каждого корня возвращает нуль в исходном выражении.