X3-6x2-9x+54=0

Задача: x^3 - 6x^2 - 9x + 54 = 0 Цель — понять метод и получить корни. 1) Поиск целочисленных корней - По теореме рациональных корней возможны делители 54: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18, ±27, ±54. - Пробуем x = 3: f(3) = 3^3 - 6·3^2 - 9·3 + 54 = 27 - 54 - 27 + 54 = 0. - Значит x = 3 является корнем, и многочлен можно разложить на (x - 3) умноженное на квадратичный. 2) Деление на (x - 3) (метод синтетического деления) - Коэффициенты: 1, -6, -9, 54 - Synthetic division с корнем 3: - Приносим 1 → умножаем на 3 → 3; складываем: -6 + 3 = -3 - Умножаем -3 на 3 → -9; складываем: -9 + (-9) = -18 - Умножаем -18 на 3 → -54; складываем: 54 + (-54) = 0 - Получаем кубический разложение: x^3 - 6x^2 - 9x + 54 = (x - 3)(x^2 - 3x - 18) 3) Разложение квадратичного многочлена - x^2 - 3x - 18 = 0 - Разложение на множители: ищем числа, которые умножаются на -18 и дают сумму -3 → -6 и +3 - Таким образом: x^2 - 3x - 18 = (x - 6)(x + 3) 4) Полное разложение и корни - Итак, x^3 - 6x^2 - 9x + 54 = (x - 3)(x - 6)(x + 3) = 0 - Корни уравнения: x = 3, x = 6, x = -3 Альтернативный способ (группировка): - x^3 - 6x^2 - 9x + 54 = (x^3 - 6x^2) + (-9x + 54) = x^2(x - 6) - 9(x - 6) = (x - 6)(x^2 - 9) = (x - 6)(x - 3)(x + 3) - Те же корни: 3, 6, -3 Проверка: - Подстановка каждого корня возвращает нуль в исходном выражении.