cos4x+1-cos2x=0

Задача: cos(4x) + 1 - cos(2x) = 0

Цель: понять и получить подробное решение.

Пошаговое решение

1. Приведём выражение к более простому виду, используя тождество для косинуса двойного угла: cos(4x) = 2 cos^2(2x) - 1.

Тогда уравнение становится: (2 cos^2(2x) - 1) + 1 - cos(2x) = 2 cos^2(2x) - cos(2x) = 0.

2. Вынесем общий фактор cos(2x): cos(2x) (2 cos(2x) - 1) = 0.

Значит, уравнение выполняется, когда выполняется одно из условий:

3. Решения

A) cos(2x) = 0

• 2x = π/2 + πk, где k ∈ Z
• x = π/4 + πk/2, k ∈ Z

B) cos(2x) = 1/2

• 2x = ± π/3 + 2πk, где k ∈ Z
• x = ± π/6 + πk, то есть x = πk ± π/6, k ∈ Z

Итого, общий набор решений: x ∈ { π/4 + kπ/2 : k ∈ Z } ∪ { πk ± π/6 : k ∈ Z }.

Примечание

• В интервале [0, 2π) получаются четыре решения из каждой подзадачи:
  • cos(2x) = 0: x = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4
  • cos(2x) = 1/2: x = π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6

Проверка (один пример) Возьмём x = π/4. Тогда cos(4x) = cos(π) = -1, cos(2x) = cos(π/2) = 0. Лево равенство: cos(4x) + 1 - cos(2x) = -1 + 1 - 0 = 0, что верно.