m⁴+m⁷

Задача: m^4 + m^7

Цель: понять процесс разложения и факторинга.

Пошаговое решение

1. Найдите ont общую множитель

• У двух слагаемых m^4 и m^7 общий множитель — m^4.
• Вынесем его за скобку: m^4 + m^7 = m^4(1 + m^3) = m^4(m^3 + 1)

2. Разложение суммы кубов

• Число m^3 + 1 является суммой кубов: a^3 + b^3, где a = m, b = 1.
• Формула: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
• Применяем: m^3 + 1 = (m + 1)(m^2 - m + 1)

3. Полное факторирование

• Подставим в выражение из шага 1: m^4(m^3 + 1) = m^4(m + 1)(m^2 - m + 1)

Итого

• Полное разложение над целыми коэффициентами: m^4 (m + 1)(m^2 - m + 1)
• Если нужно оставить в виде без дополнительного разложения: m^4(1 + m^3)

Дополнительные замечания

• Корни факторов: m^4 = 0 дает m = 0 (кратность 4); m + 1 = 0 дает m = -1; m^2 - m + 1 имеет дискриминант D = (-1)^2 - 4 = -3, следовательно, корни комплексные (нет реальных корней из этого множителя).
• Пример проверки: для m = 2 левая часть = 2^4 + 2^7 = 16 + 128 = 144; правая часть = 2^4(2 + 1)(2^2 - 2 + 1) = 16 · 3 · 3 = 144.