41 Выпуклый многоугольник F Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. На рисунке 154…
41 Выпуклый многоугольник F Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. На рисунке 154 многоугольник F1 является выпуклым, а многоугольник F - невыпуклым. Рассмотрим выпуклый п-угольник, изображённый на рисунке 155, а. Углы А,А А2, A А2А3, …, Аn А,А1 называются углами этого многоугольника. Найдём их сумму. Для этого соединим диагоналями вершину А1 с другими вершинами. В результате полу- Рис. 154 98 Глава V чим п - 2 треугольника (рис. 155, б), сумма углов которых равна сумме углов п-угольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, поэтому сумма углов многоугольника А А2… А, равна (n - 2) • 180°. Итак, сумма углов выпуклого п-угольника равна (п - 2) • 180° a) Внешним углом выпуклого многоугольника называется угол, смежный с углом многоугольника. Если при каждой вершине выпуклого многоугольника А А2 … А, взять по одному внешнему углу, то сумма этих внешних углов окажется равной A. вносотэ 180° - A, + 180° - A, + … + 180° - A, = = n• 180° - (A1 + A2+ … + A,)= б) = n • 180° - (n - 2) • 180° = 360° Рис. 155 Таким образом, сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360° сделайть конспект короткий
Для выпуклого п-угольника сумма внутренних углов равна (п−2)·180°, а сумма внешних углов равна 360°.
Обсуждение
2 сообщениядлиннее
Конспект по теме "Сумма углов выпуклого многоугольника"
Определение выпуклого многоугольника:
- Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
- На изображении видно, что многоугольник F1 является выпуклым, а многоугольник F — невыпуклым.
Сумма внутренних углов выпуклого п-угольника:
- Рассмотрим выпуклый п-угольник с вершинами A1, A2, ..., An.
- Для нахождения суммы внутренних углов этого многоугольника можно провести диагонали из одной из вершин (например, A1) к другим вершинам, создавая n−2 треугольника.
- Сумма углов любого треугольника равна 180°.
- Поскольку в п-угольнике образуется n−2 треугольника, то сумма всех внутренних углов: \[ \text{Сумма углов} = (n - 2) \cdot 180° \]
Внешние углы выпуклого многоугольника:
- Внешним углом называется угол, смежный с внутренним углом многоугольника.
- Если взять по одному внешнему углу при каждой вершине, их сумма можно выразить через внутренние углы: \[ \text{Сумма внешних углов} = (180° - A1) + (180° - A2) + ... + (180° - An) \]
- Это равняется: \[ n \cdot 180° - (A1 + A2 + ... + An) \]
- Подставляя известную сумму внутренних углов (A1 + A2 + ... + An = (n - 2) \cdot 180°): \[ = n \cdot 180° - (n - 2) \cdot 180° \]
- Упростив, получаем: \[ = 360° \]
Итог:
- Таким образом, сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна 360°.
Краткое резюме:
- Сумма внутренних углов выпуклого п-угольника: (п−2)·180°.
- Сумма внешних углов выпуклого многоугольника: 360°.
