. Изобразите пять прямых так, чтобы у них было десять точек по-парных пересечений.
Цель задачи: получить 10 точек пересечения между 5 прямыми. Это можно сделать, если:
- никакие две прямые не параллельны (то есть у них разные углы наклона);
- не существует общей точки пересечения трех и более прямых.
Так что задача сводится к "пяти прямым в общих положениях" ( General position). В такой ситуации число пар прямых равно C(5,2) = 10, значит будут ровно 10 точек пересечения.
Пример готового набора пяти прямых (уточнённые уравнения, чтобы не было параллельностей и тройных точек пересечения):
- L1: y = 0
- L2: y = x
- L3: y = 2x + 1
- L4: y = -x + 2
- L5: y = 3x - 1
Пояснения:
- У всех прямых различные углы наклона (массив slopes: 0, 1, 2, -1, 3) — ни одна пара не параллельна.
- Уравнения подобраны так, чтобы не было общей точки пересечения более чем двумя прямыми (проверили по нескольким парам и проверка на тройные совпадения не показывает общей точки для трёх линий).
Пример точек пересечения некоторых пар (для иллюстрации, можно нарисовать по ним):
L1 ∩ L2: y = 0 и y = x → x = 0, y = 0 → (0, 0)
L1 ∩ L3: y = 0 и y = 2x + 1 → x = -1/2, y = 0 → (-0.5, 0)
L1 ∩ L4: y = 0 и y = -x + 2 → x = 2, y = 0 → (2, 0)
L1 ∩ L5: y = 0 и y = 3x - 1 → x = 1/3, y = 0 → (1/3, 0)
L2 ∩ L3: x = 2x + 1 → x = -1, y = -1 → (-1, -1)
L2 ∩ L4: x = -x + 2 → x = 1, y = 1 → (1, 1)
L2 ∩ L5: x = 3x - 1 → x = 1/2, y = 1/2 → (0.5, 0.5)
L3 ∩ L4: 2x + 1 = -x + 2 → x = 1/3, y = 5/3 → (1/3, 5/3)
L3 ∩ L5: 2x + 1 = 3x - 1 → x = 2, y = 5 → (2, 5)
L4 ∩ L5: -x + 2 = 3x - 1 → x = 3/4, y = 5/4 → (0.75, 1.25)
Итого эти пять прямых дают 10 различных точек пересечения (одна для каждой пары прямых).
Как это изобразить на практике:
- возьмите лист бумаги или графическую доску и нарисуйте заранее выбранные линии (например, по диагоналям и горизонтальной оси) так, чтобы каждая пара пересекалась в своей точке и не было общих точек для трёх линий.
- можно начать с L1: проведите горизонталь y = 0, затем добавляйте прямые с разными наклонными (L2–L5), убедившись, что они не параллельны и не проходят через одну общую точку.
Если хотите, могу привести другой набор прямых с четырьмя различными углами наклона и разными смещениями, чтобы проверить любознательные варианты.
