Содержимое разработки Геометрия – 10 класс Контрольная работа № 1 Вариант 1 Вариант 2 1.Основание АD трапеции АВСD лежит в плоскости α. Через точки В и С проведены параллельные…

Давайте решим задания по очереди.

Вариант 1

Задание 1

1. Основание \( AD \) трапеции \( ABCD \) лежит в плоскости \( \alpha \). Через точки \( B \) и \( C \) проведены параллельные прямые \( EF \), пересекающие плоскость \( \alpha \) в точках \( E \) и \( F \) соответственно.

а) Взаимное расположение прямых \( EF \) и \( AB \):

• Прямые \( EF \) и \( AB \) будут пересекаться, так как \( EF \) проведена параллельно основанию трапеции \( AD \), а \( AB \) – боковая сторона трапеции.

б) Угол между прямыми \( EF \) и \( AB \):

• Угол между прямыми \( EF \) и \( AB \) равен \( 150^\circ \). Это произойдет из-за того, что угол \( ABC \) равен \( 150^\circ \) и параллельные прямые сохраняют угол при пересечении с секущими (в данном случае, \( AB \)).

Задание 2

1. Треугольники \( ABC \) и \( ADC \) лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону \( AC \). Точка \( P \) – середина стороны \( AD \), а \( K \) – середина стороны \( DC \).

а) Взаимное расположение прямых \( PK \) и \( AB \):

• Прямые \( PK \) и \( AB \) также будут пересекаться, потому что \( PK \) соединяет две точки на боковых сторонах, а \( AB \) – это одна из боковых сторон.

б) Угол между прямыми \( PK \) и \( AB \):

• Угол между прямыми \( PK \) и \( AB \) можно определить через углы треугольника. Если \( \angle ABC = 40^\circ \) и \( \angle BCA = 80^\circ \), тогда угол \( PK \) и угол \( AB \) будет равен \( 90^\circ - \left(\angle ABC\right) = 50^\circ\) из-за того, что они находятся в разных плоскостях.

Задание 3

1. Дан пространственный четырехугольник \( ABCD \), в котором диагонали \( AC \) и \( BD \) равны. Середины сторон этого четырехугольника соединены последовательно отрезками.

а) Выполните рисунок к задаче:

• На рисунке изображаются точки \( A, B, C, D \), диагонали \( AC \) и \( BD \) пересекаются в центре и равны. Соедините середины сторон: \( M \) (середина AB), \( N \) (середина BC), \( K \) (середина CD) и \( L \) (середина AD).

б) Докажите, что полученный четырехугольник есть ромб:

• Для этого нам нужно продемонстрировать, что все стороны равны.
• Пусть \( E \) – середина диагонали \( AC \); тогда мы знаем, что \( AM = MB \) и \( CN = ND \), и так как \( AC = BD \), можем сказать, что \( MN = KL \).
• Рассуждая по аналогии, получаем, что все стороны равны и угол между ними равен 90° (обоснование через свойства координат и параллельных отрезков).

Второй вариант задания 3

2. Дан пространственный четырехугольник \( ABCD \), \( M \) и \( N \) – середины сторон \( AB \) и \( BC \) соответственно; \( E \) – точка на \( CD \), \( K \) – точка на \( DA \), \( DE : EC = 1:2, DK : KA = 1:2 \).

а) Выполните рисунок к задаче:

• На рисунке обозначите \( A, B, C, D \). Укажите середины \( M \) и \( N \). Параллелограмм между \( E \) и \( K \) находите через пропорции.

б) Докажите, что четырехугольник \( MNKE \) есть трапеция:

• Для доказательства нужно показать, что \( MN \) // \( EK \).
• Поскольку \( M \) и \( N \) – середины, а точки \( E \) и \( K \) определены пропорционально, то по свойству нахождения точек на отрезках получаем, что основания параллельны.

Если потребуется дополнительное объяснение по какому-то из пунктов, дайте знать!