m³-8n³-m²+4mn-4n²

Задача: m³ − 8n³ − m² + 4mn − 4n²

Цель: понять и подробно разобрать факторизацию.

Ход решения

1. Заметим разность кубов: m³ − 8n³ = (m − 2n)(m² + 2mn + 4n²).

2. Остаток: −m² + 4mn − 4n² можно записать как −(m² − 4mn + 4n²) = −(m − 2n)².

3. Запишем исходное выражение через обе части: m³ − 8n³ − m² + 4mn − 4n² = (m − 2n)(m² + 2mn + 4n²) − (m − 2n)².

4. Вынесем общий множитель (m − 2n): = (m − 2n)[(m² + 2mn + 4n²) − (m − 2n)].

5. Упростим скобки: (m² + 2mn + 4n²) − (m − 2n) = m² + (2n − 1)m + 4n² + 2n.

6. Итоговая факторизация: m³ − 8n³ − m² + 4mn − 4n² = (m − 2n)[m² + (2n − 1)m + 4n² + 2n].

Дополнительно

• Это уже разложение над целыми коэффициентами. Диагональ дискриминанта квадратичного множителя по m: Δ = (2n − 1)² − 4(4n² + 2n) = −12n² − 12n + 1. Для большинства значений n (особенно n ≥ 1) Δ < 0, значит дальше раскрывать нельзя через рациональные корни. В случае n = 0 выражение становится m²(m − 1), и факторизация может упроститься до произведения целых множителей.

Проверка Раскрыть скобки обратно даст исходное выражение, что подтверждает правильность факторизации.