углы. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС, равным 37 см, внешний угол при вершине В равен 60°. Найдите расстояние от вершины С до прямой АВ.

18,5 см

Кратко решение:

• В равнобедренном треугольнике AB = BC, основание AC = 37 см.
• Внешний угол в вершине B равен 60°, значит внутренний угол B = 180° − 60° = 120°.
• Базовые углы A и C равны: A = C = (180° − 120°)/2 = 30°.
• Пусть AB = BC = s. По теореме cos для треугольника ABC: AC^2 = AB^2 + BC^2 − 2 AB·BC cos∠B = 2s^2(1 − cos 120°) = 2s^2(1 + 1/2) = 3s^2. Значит s = AC/√3 = 37/√3.
• Площадь треугольника: S = (1/2) AB·BC·sin∠B = (1/2)s^2 sin 120° = (1/2)s^2(√3/2) = s^2√3/4.
• Расстояние h от вершины C до прямой AB выражается через площадь: S = (1/2) AB·h, значит h = 2S/AB = (2·(s^2√3/4))/s = s√3/2.
• Подставим s = 37/√3: h = (37/√3)·√3/2 = 37/2 = 18,5 см.