Найти экстремумы функции f(x)=x^3-5/2x^2-22x+1

Для поиска экстремумов функции f(x) = x^3 - 5/2x^2 - 22x + 1, нужно сначала найти её производную и приравнять её к нулю.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = 3x^2 - 5x - 22.

2. Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение: 3x^2 - 5x - 22 = 0.

Для решения этого квадратного уравнения можно воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac, где a = 3, b = -5, c = -22.

D = (-5)^2 - 4 * 3 * (-22) = 25 + 264 = 289.

3. Вычислим корни уравнения при помощи формулы:

x = (-b ± √D) / (2a).

x₁ = (-(-5) + √289) / (2 * 3) = (5 + 17) / 6 = 22 / 6 = 11/3.

x₂ = (-(-5) - √289) / (2 * 3) = (5 - 17) / 6 = -12 / 6 = -2.

4. Найденные значения x₁ = 11/3 и x₂ = -2 являются кандидатами на экстремумы.

5. Чтобы определить, являются ли эти точки максимумами или минимумами, нужно проанализировать вторую производную функции.

f''(x) = 6x - 5.

6. Подставим найденные значения кандидатов на экстремумы во вторую производную:

f''(11/3) = 6(11/3) - 5 = 22 - 5 = 17 > 0. f''(-2) = 6(-2) - 5 = -12 - 5 = -17 < 0.

7. Исходя из анализа знака второй производной, можно сделать выводы:

• Точка x₁ = 11/3 является точкой минимума, так как вторая производная положительна.
• Точка x₂ = -2 является точкой максимума, так как вторая производная отрицательна.

Таким образом, экстремумы функции f(x) = x^3 - 5/2x^2 - 22x + 1:

• Минимум при x = 11/3.
• Максимум при x = -2.