докажите что пенеоличная дробь 2,(36) является рациональным числом

Задача: доказать, что периодическая дробь 2,(36) равна рациональному числу.

Пояснение: 2,(36) означает 2.363636... — десятичная дробь с периодом "36" после запятой. Любая повторяющаяся десятичная дробь является рациональным числом.

Способ 1: прямое алгебраическое выражение x = 2.363636...

• Пусть x = 2.363636...
• Поскольку период длиной 2 цифры, умножим на 100: 100x = 236.363636...
• Вычтем исходное: 100x - x = 236.363636... - 2.363636... = 234
• Получаем: 99x = 234
• Следовательно: x = 234/99
• Упростим дробь: 234/99 = (78/33) = (26/11)

Итак, 2.(36) = x = 26/11, что является рациональным числом.

Способ 2 (альтернативный): разложение на целую и дробную части

• 2.(36) = 2 + 0.(36)
• Пусть y = 0.(36). Тогда 100y = 36.(36) = 36 + 0.(36) = 36 + y
• 100y - y = 36 → 99y = 36 → y = 36/99 = 4/11
• Значит 2.(36) = 2 + 4/11 = 22/11 + 4/11 = 26/11

Вывод: число 2,(36) эквивалентно дроби 26/11 и therefore рационально.