Найти экстремумы функции f(x)=x^3*e^x

Для нахождения экстремумов функции f(x) = x^3 * e^x, нужно взять производную f'(x) и приравнять её к нулю:

f'(x) = (3x^2 * e^x) + (x^3 * e^x) = 0

Объединим слагаемые с единой переменной:

(3x^2 + x^3) * e^x = 0

Так как e^x всегда положительно, то нам нужно приравнять только многочленное выражение к нулю:

3x^2 + x^3 = 0

Факторизуем это выражение:

x^2 * (3 + x) = 0

Таким образом, мы получили два возможных значения x: x = 0 и x = -3.

Теперь найдем вторую производную f''(x) и определим их знаки в окрестностях x = 0 и x = -3, чтобы установить тип экстремумов.

f''(x) = (6x + 6x^2) * e^x

Подставим x = 0 и x = -3 в f''(x):

f''(0) = (6 * 0 + 6 * 0^2) * e^0 = 0 f''(-3) = (6 * (-3) + 6 * (-3)^2) * e^(-3) = ( -18 + 54) * e^(-3) = 36 * e^(-3) > 0

Следовательно, функция имеет точку экстремума в x = 0, которая является минимумом, а также указывает на отсутствие экстремума в x = -3.

Итак, единственный экстремум функции f(x) = x^3 * e^x равен минимальному значению, которое достигается при x = 0.