представьте в виде бесконечной десятичной периодической дроби число 1/3

Цель: Понять. Представляю несколько способов получить бесконечную десятичную периодическую дробь для 1/3.

Способ 1. Длинное деление

• Разделим 1 на 3: 1 ÷ 3 = 0 целых, остаток 1.
• Добавляем десятичную запятую и ноль: 10 ÷ 3 = 3, остаток 1.
• Повторяем шаг: 10 ÷ 3 снова даёт 3, остаток 1, и т. д.
• Итог: десятичная часть повторяется цифра 3 бесконечно. 1/3 = 0.333... = 0.\overline{3}.

Способ 2. Алгебраический метод

• Обозначим x = 0.333...
• Тогда 10x = 3.333...
• Вычитаем: 10x − x = 3.333... − 0.333... → 9x = 3
• Откуда x = 3/9 = 1/3.
• Значит, 0.333... = 1/3, то есть 1/3 = 0.\overline{3}.

Способ 3. Сумма геометрической прогрессии

• Число 0.333... можно записать как суммa: 0.3 + 0.03 + 0.003 + ...
• Это геометрическая прогрессия с первым членом a1 = 0.3 и знаменателем q = 0.1.
• Сумма бесконечной прогрессии: S = a1 / (1 − q) = 0.3 / (1 − 0.1) = 0.3 / 0.9 = 1/3.
• Значит, 1/3 = 0.\overline{3}.

Дополнительно

• Период дроби равен 1 (одна цифра "3"), поэтому можно записать кратко как 0.\overline{3}.
• Замечание: 0.999... = 1 — это сродни ситуации с 0.\overline{9} и 1; здесь тоже 0.333... и 1/3 определяют одну и ту же рациональную величину.

Ответ: 1/3 = 0.333... = 0.\overline{3}.