проведите три прямых так, чтобы каждые две из них пересекались. обозначьте все точки пересечения этих прямых. сколько получилось точек? рассмотрите все возможные случаи.

Задача: три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. обозначьте все точки пересечения. сколько получилось точек? рассмотреть все случаи.

Важно: считаем три прямые разные и не параллельные (иначе пары не обязаны пересекаться). Тогда возможны два случая.

1. Все три прямые проходят через одну общую точку (конкурентность)

• Пусть все три прямые проходят через точку O.
• Тогда пересечение любых двух прямых совпадает с одной и той же точкой O: L1 ∩ L2 = L1 ∩ L3 = L2 ∩ L3 = O.
• Число точек пересечения: 1.

2. Прямые не сходятся в одну общую точку (неконкурентные)

• Пусть L1 и L2 пересекаются в точке P. Если L3 проходит через P, то все три проходят через одну точку (первый случай). Чтобы другой вариант, пусть L3 не проходит через P.
• Тогда L3 пересекает L1 в одной точке A и пересекает L2 в другой точке B. При этом A ≠ B, и A не равно P, B не равно P.
• Точки пересечения: L1 ∩ L2 = P, L1 ∩ L3 = A, L2 ∩ L3 = B. Все три точки различны.
• Число точек пересечения: 3.

Итого

• Возможные количества точек пересечения: 1 или 3.
• 1 точка возникает в случае, когда все три прямые проходят через одну общую точку.
• 3 точки возникают, когда прямые не конкурентны и не параллельны pairwise (то есть кроме одной общей точки P, остальные две пары дают свои собственные точки пересечения).

Замечание

• Если бы две прямые совпадали или какая-либо пара была параллельной, условие «каждые две пересекались» нарушалось. Обычно в таких задачах предполагаются три различные прямые, не параллельные друг другу.