0.(16) и 1.5(4) перевести в дроби

Детальное решение с пояснениями.

1. 0.(16)

• Обозначение 0.(16) значит 0.161616... (цифры 16 повторяются).
• Обозначим x = 0.(16).
• Умножим на 100, чтобы сдвинуть повторяющийся блок: 100x = 16.161616...
• Вычтем исходное уравнение: 100x - x = 16.1616... - 0.1616... → 99x = 16.
• Тогда x = 16/99.
• Это несокращаемая дробь (gcd(16,99)=1).

Ответ: 0.(16) = 16/99.

2. 1.5(4)

• Обозначение 1.5(4) значит 1.54444... (последовательность цифр после запятой: 5, затем повторяется 4).
• Пусть x = 1.54444...
• Умножим на 10 и на 100, чтобы выделить повторяющийся блок:
  • 10x = 15.4444...
  • 100x = 154.4444...
• Вычтем: 100x - 10x = 90x = 154.4444... - 15.4444... = 139.
• Тогда x = 139/90.
• Дробь несокращаемая (gcd(139,90)=1).

Другой способ (для проверки): разложить как 1 + 0.54444...; сначала превратить 0.54444... в дробь по формуле для дробной части с неповторяющейся частью длиной k=1 и повторяющейся длиной r=1:

• цифры non-repeating: "5", repeating: "4".
• значение дробной части = (54 - 5) / (10^1 (10^1 - 1)) = 49/90.
• Итого x = 1 + 49/90 = 139/90. Совпадает.

Ответ: 1.5(4) = 139/90.

Итоговые дроби:

• 0.(16) = 16/99
• 1.5(4) = 139/90