<1 и <3, <2 и <4 - вертикальные <1 = <3 <2 = <4 3( <1 + <3 ) = <2 + <4

Задача по геометрии (7 класс). Даны углы 1, 2, 3, 4 такие, что:

• углы 1 и 3 являются вертикальными,
• углы 2 и 4 являются вертикальными,
• ∠1 = ∠3,
• ∠2 = ∠4,
• 3(∠1 + ∠3) = ∠2 + ∠4.

Пошаговое решение:

1. По свойству вертикальных углов: ∠1 и ∠3 равны, ∠2 и ∠4 равны. Обозначим a = ∠1 = ∠3, b = ∠2 = ∠4.

2. Сумма углов вокруг точки равна 360 градусов: a + b + a + b = 360 → 2a + 2b = 360 → a + b = 180.

3. Используем данное равенство: 3(∠1 + ∠3) = ∠2 + ∠4. ∠1 + ∠3 = a + a = 2a, значит левая часть = 3·(2a) = 6a. ∠2 + ∠4 = b + b = 2b, значит правая часть = 2b. Получаем уравнение: 6a = 2b → 3a = b.

4. Решаем систему: a + b = 180 и b = 3a. Подставим: a + 3a = 180 → 4a = 180 → a = 45. Тогда b = 3a = 135.

5. Вывод: ∠1 = ∠3 = 45°, ∠2 = ∠4 = 135°.

Проверка: 3(45 + 45) = 3·90 = 270, и 135 + 135 = 270. Всё верно.