MN и MK касательные к окружности O. Найдите градусные меры дуги NK, если OM = 8см, а хорда NK делит OM точкой E в отношении 3 к 1, считая от точки N
Задача (систематизированное решение):
Даны MN и MK как касательные к окружности с центром O, OM = 8 см. Хорда NK пересекает OM в точке E и делит OM в отношении 3:1, считая от точки O (то есть OE:EM = 3:1). Нужно найти градусную меру дуги NK (то есть центральный угол ∠NOK).
Замечание по формулировке: существует вероятность опечатки в условии: из геометрии tangents from M к окружности хорда NK (хорда касательных) пересекает OM под прямым углом и точка пересечения E является проекцией центра на хорду NK, поэтому OE:EM = 3:1 удобнее и совместимо с данными. Далее будем исходить именно из OE:EM = 3:1.
Пошаговое решение:
Обозначим радиус окружности как r. Для хорды NK, полученной как касательная к окружности из точки M, известно свойство: расстояние d от центра O до хорды NK равно d = r^2 / OM. Кроме того, точка E, где хорда NK пересекает OM, является проекцией O на хорду NK, то есть OE = d.
По условию OE:EM = 3:1 и OM = 8, имеем OE = (3/4)·OM = 6 см, а EM = OM − OE = 2 см. Следовательно, d = OE = 6.
Из формулы d = r^2 / OM получаем: r^2 = d · OM = 6 · 8 = 48, значит r = sqrt(48) = 4√3 см.
Найдем длину хорды NK. Для хорды на расстоянии d от центра NK = 2√(r^2 − d^2): NK = 2√(48 − 36) = 2√12 = 4√3 см.
Связь между длиной хорды NK и центральным углом θ = ∠NOK: NK = 2r sin(θ/2). Подставим найденные значения: 4√3 = 2 · (4√3) · sin(θ/2) ⇒ sin(θ/2) = 1/2.
Значение sin(θ/2) = 1/2 даёт θ/2 = 30° (поскольку угол заметим как меньший по модулю), следовательно θ = 60°.
Ответ: градусная мера дуги NK (минимума) равна 60°. (Если говорить о дуге NK целиком, противолежащая дуга имеет меру 360° − 60° = 300°, но обычно имеют в виду меньшую дугу.)
Кратко: arc NK = 60°.
