№ 1. Диагонали прямоугольника МИКР пересекаются в точке О, MON=64⁰. Найдите угол ОМР.
Задача: В прямоугольнике МИКР диагонали пересекаются в точке O. Пусть MON = 64°. Найдите угол OMR.
Замечание по обозначениям: в квадратной/прямоугольной задаче обычно МИKР — это обход вершин по порядку, диагонали MK и IR пересекаются в O. Здесь угол MON трактуем как угол между концами диагоналей, т.е. M–O–N образует угол между двумя диагоналями. Таким образом N удобно брать за вершину R (тогда ON лежит по диагонали IR). Иными словами, MON — угол между двумя диагоналями.
Решение (пошагово):
Введём координаты. Пусть M = (0,0), I = (a,0), K = (a,b), R = (0,b) с a>0, b>0. Тогда O — середина диагоналей: O = (a/2, b/2).
Найдём угол между диагоналями, т.е. угол MON при N = R. Векторы, исходящие из O:
- OM = M − O = (−a/2, −b/2)
- ON = R − O = (−a/2, b/2)
Косинус угла MON: cos ∠MON = (OM · ON) / (|OM||ON|) = [ (a^2/4) − (b^2/4) ] / [ (a^2 + b^2)/4 ] = (a^2 − b^2)/(a^2 + b^2).
По условию ∠MON = 64°, значит (a^2 − b^2)/(a^2 + b^2) = cos 64°.
Найдём угол OMR. Это угол между MO и MR, где
- MO = O − M = (a/2, b/2)
- MR = R − M = (0, b)
Косинус ∠OMR: cos ∠OMR = (MO · MR) / (|MO||MR|) = [(a/2)·0 + (b/2)·b] / [ (1/2)√(a^2 + b^2) · b ] = b^2/2 ÷ [ (b/2)√(a^2 + b^2) ] = b / √(a^2 + b^2).
Поэтому cos ∠OMR = b / √(a^2 + b^2) = √( b^2 / (a^2 + b^2) ).
Введём x = a^2 / b^2. Из шага 2 имеем (a^2 − b^2)/(a^2 + b^2) = cos 64° ⇒ (x − 1)/(x + 1) = cos 64°. Отсюда x = (1 + cos 64°)/(1 − cos 64°).
Тогда cos ∠OMR = 1 / √(x + 1) = 1 / √( (1 + cos 64°)/(1 − cos 64°) + 1 ) = 1 / √( 2/(1 − cos 64°) ) = √( (1 − cos 64°)/2 ) = sin 32°. Тогда ∠OMR = arccos( sin 32° ) = 90° − 32° = 58°.
Ответ: ∠OMR = 58°.
