Докажите утверждение: а) Если каждое из натуральных чисел n и m делится на натуральное число p, то (n + m) : ри (n – m) p.

Цель: Понять Задача: доказать утверждение: если p | n и p | m, то p | (n+m) и p | (n−m).

Пошаговое доказательство:

1. По условию существуют такие целые числа a и b, что n = p·a и m = p·b, потому что p делит n и p делит m.
2. Сложение: n + m = p·a + p·b = p·(a + b). Так как (a + b) — целое число, следует, что p делит n + m.
3. Вычитание: n − m = p·a − p·b = p·(a − b). Так как (a − b) — целое число, следует, что p делит n − m.
4. Таким образом, выполнено требование: p | (n+m) и p | (n−m).

Примечание:

• Здесь мы просто используем свойство делимости: если p делит n и p делит m, то p делит любую линейную комбинацию n·x + m·y, в частности суммы и разности.
• Замечание по обратному направлению: противоположное утверждение неверно в общем случае без дополнительных условий (например, без того, чтобы p было простым и p ≠ 2).