Cos²x+cos²2x-cos²3x-cos²4x=0

Решение задачи: cos²x + cos²(2x) - cos²(3x) - cos²(4x) = 0 Пошагово: 1) Применим тождество кос²α = (1 + cos 2α)/2 к каждому слагаемому: - cos²x = (1 + cos 2x)/2 - cos²(2x) = (1 + cos 4x)/2 - cos²(3x) = (1 + cos 6x)/2 - cos²(4x) = (1 + cos 8x)/2 И получим сумму: (1 + cos 2x)/2 + (1 + cos 4x)/2 - (1 + cos 6x)/2 - (1 + cos 8x)/2 = 0 2) Слагаемые констант: 1/2 + 1/2 - 1/2 - 1/2 = 0, следовательно остаётся cos 2x + cos 4x - cos 6x - cos 8x = 0. 3) Сгруппируем пары и применим формулу косинусов суммы: cos 2x + cos 4x = 2 cos(3x) cos(x) cos 6x + cos 8x = 2 cos(7x) cos(x) Тогда получаем уравнение: 2 cos x (cos 3x − cos 7x) = 0 4) Уравнение распадается на два независимых условия: - cos x = 0 - cos 3x = cos 7x 5) Решение cos x = 0: x = π/2 + πk, где k ∈ Z. 6) Решение cos 3x = cos 7x. Используем общую форму: cos A = cos B => A = 2πk ± B. - Вариант 1: 3x = 7x + 2πk → -4x = 2πk → x = -πk/2 = πk/2 - Вариант 2: 3x = -7x + 2πk → 10x = 2πk → x = πk/5 7) Объединяем решения: x ∈ {πk/2, πk/5 | k ∈ Z} Замечание: решение cos x = 0 частично уже содержится в x = πk/2, поэтому полный общий набор решений можно записать как x = πk/2 или x = πk/5, для любых целых k. Итоговый ответ: x = πn/2 или x = πn/5, где n ∈ Z.