cos²x+cos²2x-cos²3x-cos²4x=0
Решение задачи: cos²x + cos²(2x) - cos²(3x) - cos²(4x) = 0
Пошагово:
- Применим тождество кос²α = (1 + cos 2α)/2 к каждому слагаемому:
- cos²x = (1 + cos 2x)/2
- cos²(2x) = (1 + cos 4x)/2
- cos²(3x) = (1 + cos 6x)/2
- cos²(4x) = (1 + cos 8x)/2
И получим сумму: (1 + cos 2x)/2 + (1 + cos 4x)/2 - (1 + cos 6x)/2 - (1 + cos 8x)/2 = 0
Слагаемые констант: 1/2 + 1/2 - 1/2 - 1/2 = 0, следовательно остаётся cos 2x + cos 4x - cos 6x - cos 8x = 0.
Сгруппируем пары и применим формулу косинусов суммы: cos 2x + cos 4x = 2 cos(3x) cos(x) cos 6x + cos 8x = 2 cos(7x) cos(x)
Тогда получаем уравнение: 2 cos x (cos 3x − cos 7x) = 0
- Уравнение распадается на два независимых условия:
- cos x = 0
- cos 3x = cos 7x
Решение cos x = 0: x = π/2 + πk, где k ∈ Z.
Решение cos 3x = cos 7x. Используем общую форму: cos A = cos B => A = 2πk ± B.
- Вариант 1: 3x = 7x + 2πk → -4x = 2πk → x = -πk/2 = πk/2
- Вариант 2: 3x = -7x + 2πk → 10x = 2πk → x = πk/5
- Объединяем решения: x ∈ {πk/2, πk/5 | k ∈ Z}
Замечание: решение cos x = 0 частично уже содержится в x = πk/2, поэтому полный общий набор решений можно записать как x = πk/2 или x = πk/5, для любых целых k.
Итоговый ответ: x = πn/2 или x = πn/5, где n ∈ Z.
