Сравните 0,123... и 0,114

Предположим, что запись 0,123... означает бесконечную повторяющуюся дробь 0.\overline{123} (то есть 0.123123123...).

Решение:

1. Преобразуем 0.\overline{123} в дробь. Пусть x = 0.\overline{123} = 0.123123123... Тогда 1000x = 123.123123... Вычтем: 1000x - x = 123.123... - 0.123... → 999x = 123 Отсюда x = 123/999 = 41/333 ≈ 0.123123...

2. Дробь для 0,114: 0,114 = 114/1000 = 57/500 = 0.114.

3. Сравнение дробей. Сравниваем 41/333 и 57/500. Пересечение через крестовую проверку: 41/333 > 57/500 тогда 41·500 > 57·333. 41·500 = 20500; 57·333 = 18981. 20500 > 18981, значит 41/333 > 57/500.

4. Вывод. 0.\overline{123} (то есть 0.123123...) больше 0.114.

Дополнительный наглядный способ: по цифрам после запятой 0.123123... против 0.114000... Первые цифры после запятой: 1 = 1, затем 2 > 1. Следовательно, первое число больше и по этому критерию тоже.

Ответ: 0,123... > 0,114.