прикаких цифрах в числе 34x5y делится на 36
Задача: для каких цифр x и y число 34x5y делится на 36?
Ключ: 36 = 4 · 9, и gcd(4,9) = 1, значит достаточно одновременно выполнить условия делимости на 4 и на 9.
Делимость на 4 Последние две цифры числа 34x5y — это 5y, то есть число 50 + y. 50 ≡ 2 (по mod 4), значит 50 + y делится на 4 тогда, когда 2 + y ≡ 0 (mod 4) → y ≡ 2 (mod 4). Где y ∈ {0,1,...,9} подходят: y = 2 или y = 6.
Делимость на 9 Сумма цифр числа 34x5y равна 3 + 4 + x + 5 + y = 12 + x + y. Чтобы число делилось на 9, нужно 12 + x + y ≡ 0 (mod 9) → x + y ≡ 6 (mod 9).
Совмещение условий
- Если y = 2: x + 2 ≡ 6 (mod 9) → x ≡ 4 (mod 9) → x = 4.
- Если y = 6: x + 6 ≡ 6 (mod 9) → x ≡ 0 (mod 9) → x = 0 или x = 9.
Итак, возможные пары (x, y): (4, 2), (0, 6), (9, 6).
Соответствующие числа: 34452, 34056, 34956.
Проверка (быстро): сумма цифр у всех вариантов кратна 9 (18 или 27), последние две цифры — 52 или 56 — делятся на 4. Значит числа делятся на 36.
