решить неравенства (х-2)(х+3)(х-1)²больше или равно 0

Задача: решить неравенство (x − 2)(x + 3)(x − 1)² ≥ 0.

Пояснение и решение пошагово

1. Анализ структуры

• В выражении есть квадратный множитель (x − 1)², который всегда неотрицателен и равен нулю только при x = 1.
• Остальные факторы (x − 2) и (x + 3) дают знак в зависимости от x.

2. Что влияет на знак

• Для x ≠ 1 знак всего выражения совпадает со знаком (x − 2)(x + 3), умноженным на положительное (x − 1)².
• При x = 1 значение выражения равно нулю потому, что есть квадратный множитель: (1 − 1)² = 0.

3. Знак произведения (x − 2)(x + 3)

• Корни: x = −3 и x = 2.
• Разбиение на интервалы: (−∞, −3], (−3, 2], [2, ∞).
• На интервалах:
  • x < −3: (x − 2) < 0, (x + 3) < 0 ⇒ произведение > 0.
  • −3 < x < 2: (x − 2) < 0, (x + 3) > 0 ⇒ произведение < 0.
  • x > 2: (x − 2) > 0, (x + 3) > 0 ⇒ произведение > 0.
• В точках x = −3 и x = 2 произведение равно нулю.

4. Собрать решение для неравенства

• Поскольку (x − 1)² ≥ 0, то на любом интервале, где (x − 2)(x + 3) > 0, все выражение ≥ 0.
• В местах, где (x − 2)(x + 3) < 0, выражение может быть отрицательным, за исключением x = 1, где выражение равно нулю благодаря (x − 1)².
• Поэтому крайние точки и особые случаи:
  • x = −3: выражение = 0.
  • x = 2: выражение = 0.
  • x = 1: выражение = 0.
• Остальные точки в интервале (−3, 2), кроме x = 1, дают отрицательное значение.

Итоговый ответ: (-∞, −3] ∪ {1} ∪ [2, ∞)

Проверка несколькими подстановками

• x = −4: (−6)(−1)(25) > 0.
• x = 0: (−2)(3)(1) < 0.
• x = 3: (1)(6)(4) > 0.
• x = 1: 0.

Если хотите, могу привести график функции или разобрать по подобию с другими неравенствами.