В параллелограмме ABCD периметры треугольников ABC и ABD равны соответственно 22 и 20 а сумма длин диагоналей параллелограмма 18. найдите периметр параллелограмма

Ответ: 24

Пошаговое решение

• Обозначения: пусть AB = a, BC = b, диагонали AC = c, BD = d.

• По условиям задачи имеем три равенства:

  1. Периметр треугольника ABC: a + b + c = 22
  2. Периметр треугольника ABD: a + d + b = 20, то есть a + b + d = 20
  3. Сумма диагоналей parallelogram: c + d = 18

• Из первого и второго уравнений вычтем друг из друга: (a + b + c) − (a + b + d) = 22 − 20 → c − d = 2.

• Совокупно с третьим уравнением (c + d = 18) можно решить для c и d: c = 10, d = 8.

• Теперь найдём a + b из первого уравнения: a + b = 22 − c = 22 − 10 = 12.

• Периметр параллелограмма ABCD равен 2(ab + bc) = 2(a + b) = 2 · 12 = 24.

Дополнительное пояснение: Параллелограммные стороны AB и CD равны, BC и AD равны; потому периметр параллелограмма равен удвоенной сумме соседних сторон AB и BC. В итоговом решении мы нашли именно сумму a + b = AB + BC, что позволило вычислить периметр как 2(a + b) = 24.