Решить

Ниже подробные решения по каждой задаче. Задача 1 Угол между диагональю и стороной ромба равен 58°. Найдите угол между стороной ромба и другой диагональю. - Свойство ромба: диагонали ромба взаимно перпендикулярны (диагонали пересекаются под углом 90°). - Пусть дан угол между стороной и одной диагональю — 58°. Угол между той же стороной и другой диагональю образует с первым диагоналем прямой угол, то есть это 90° minus этот угол. - Ответ: 90° − 58° = 32°. Задача 2 Найдите периметр прямоугольника ABCD, если биссектриса BL угла B делит сторону AD на отрезки 24 см и 16 см, считая от вершины A. - Пусть прямоугольник расположен так, что A(−a, 0), B(0, 0), C(0, −b), D(−a, −b). Тогда AD имеет длину b и лежит на x = −a. - Биссектриса угла B образует направление вдоль вектора(−1, −1), то есть линия BL имеет уравнение y = x (от B). - Точка пересечения BL с AD имеет координаты L(−a, −a). Тогда отрезок AD делится на AL = a и LD = b − a. - По условию AL = 24 см и LD = 16 см. Значит a = 24, b − a = 16 ⇒ b = 40. - Стороны прямоугольника: AB = a = 24 см, BC = b = 40 см. - Периметр P = 2(a + b) = 2(24 + 40) = 128 см. - Ответ: 128 см. Задача 3 В равнобедренной трапеции большее основание равно 17, боковая сторона равна 7, угол между ними 60°. Найдите меньшее основание. - Обозначим большие основание B = 17, малое основание b неизвестно, боковая сторона l = 7, угол между боковой стороной и основанием равен θ = 60°. - Горизонточная проекция боковой стороны на основание равна l cos θ = 7 cos 60° = 7 · 1/2 = 3.5 см. По обеим сторонам трапеции эта проекция “съедает” по 3.5 см от каждого конца большого основания. - Разность оснований: B − b = 2 · 3.5 = 7. Следовательно, b = 17 − 7 = 10. - Ответ: 10 см. Задача 4 Периметр параллелограмма равен 84 см. Найдите стороны параллелограмма, если разность двух сторон равна 6 см. - Обозначим стороны a и b (a ≥ b). Периметр: 2(a + b) = 84 ⇒ a + b = 42. - Разность сторон: a − b = 6. - Решаем систему: добавлением 2a = 48 ⇒ a = 24, тогда b = 42 − a = 18. - Ответ: стороны равны 24 см и 18 см (одна параюгольник — противоположные стороны равны).