В треугольнике ABC на стороне AC нашлись такие точки D и E, что AB = AD и BE = EC (E между A и D). Точка F — середина дуги BC окружности, описанной около треугольника ABC. Докажите, что точки B, E, D, F лежат на одной окружности.

Доказательство:

1. Поскольку AB = AD, то треугольник ABD — равнобедренный треугольник, и, следовательно, угол ADB равен углу ABD.
2. Поскольку BE = EC, то угол BEC равен углу BCE.
3. Так как точка F — середина дуги BC, то FB = FC.
4. Рассмотрим треугольник FBE. Угол FEB равен сумме углов ABE и AEB. AB = AD имеет AB = AD, поэтому угол ABE равен углу AEB. Значит, ABE = AEB = 1/2 * FEB.
5. В равнобедренном треугольнике ABD угол ABD = BDA. Так как AB = AD, угол ADB равен углу ABD. Значит, ADB = ABD = 1/2 * BFE.
6. Угол ADB + угол FEB = BFE. Следовательно, угол ADB + угол FEB + угол BEC = BFE + BEC. Значит, угол FEB + угол BEC = 180°. Это означает, что точки B, E, D и F лежат на одной окружности.