В треугольнике ABC на стороне AC нашлись такие точки D и E, что AB = AD и BE = EC (E между A и D). Точка F — середина дуги BC окружности, описанной около треугольника ABC. Докажите, что точки B, E, D, F лежат на одной окружности.

Question 1

Задача Задача №33345

А

Аноним

05 ноября 2023 15:15 · публичный вопрос

А

Аноним 05 ноября 2023 15:15

В треугольнике ABC на стороне AC нашлись такие точки D и E, что AB = AD и BE = EC (E между A и D). Точка F — середина дуги BC окружности, описанной около треугольника ABC. Докажите, что точки B, E, D, F лежат на одной окружности.

Answer

Давайте вначале приведем некоторые уточнения к данной задаче.

Пусть O обозначает центр описанной окружности треугольника ABC и пусть H обозначает основание перпендикуляра, опущенного из точки F на сторону AC. Поскольку F является серединой дуги BC, легко видеть, что ∠BFC = 90°. Также, по построению, ∠BAC = ∠AFC, поэтому в ΔAFC мы имеем ∠AFC = 90° - ∠AFC = ∠FAC. Таким образом, ΔAFC — прямоугольный.

Теперь рассмотрим ΔFHC. Поскольку HF ⊥ AC, углы ∠FHC и ∠DHA являются вертикальными углами и, следовательно, равными. Из равенства ∠DHA = ∠FHC и того факта, что ∠AHD = ∠CFH (как соответствующие вертикальные углы), мы можем заключить, что ΔDHA ∼ ΔFHC (по признаку общего треугольника) и что соответствующие стороны пропорциональны: AH/HC = DH/FH.

Из задачи также известно, что AB = AD и BE = EC, поэтому мы можем также найти сторонные отношения в ΔABC: AB/AC = BE/EC. Но поскольку AB = AD, мы можем заменить AB в этой пропорции: AD/AC = BE/EC.

Теперь вспомним, что ΔAFC — прямоугольный, а значит, мы можем использовать теорему Пифагора в нем:

AC² = AF² + FC².

Поскольку F — середина дуги BC окружности, описанной около треугольника ABC, мы знаем, что AF = FC. Подставим это в предыдущее уравнение:

AC² = AF² + AF² AC² = 2AF² AF = √(AC²/2).

Теперь мы можем использовать найденное значение AF в пропорции ΔDHA ∼ ΔFHC:

AH/HC = DH/FH 1 = DH/(√(AC²/2)) DH = √(AC²/2).

Теперь мы имеем равенство AD = DH = √(AC²/2) и угол ∠DAH = ∠FHA (исходя из пропорции ΔDHA ∼ ΔFHC и по теореме Пифагора).

Если мы рассмотрим ΔBDA и ΔFHA, то у нас есть два равных прямоугольных треугольника с общим углом ∠DAH = ∠FHA и двумя сторонами AD = DH = √(AC²/2) и AB = AF.

Следовательно, эти два треугольника равны. Это означает, что у них также равны противоположные углы: ∠BAD = ∠FAH.

Наконец, поскольку ∠BAD = ∠FAH и ∠BAF = ∠HAE (как соответствующие углы между параллельными линиями AF и HE), мы можем заключить, что ∠BAF = ∠HAE.

Таким образом, по свойству касательной и противоположных углов, мы выводим, что точки B, E, D, F лежат на одной окружности.

Question 2

В треугольнике ABC на стороне AC нашлись такие точки D и E, что AB = AD и BE = EC (E между A и D). Точка F — середина дуги BC окружности, описанной около треугольника ABC. Докажите, что точки B, E, D, F лежат на одной окружности.

Answer

Давайте вначале приведем некоторые уточнения к данной задаче. Пусть O обозначает центр описанной окружности треугольника ABC и пусть H обозначает основание перпендикуляра, опущенного из точки F на сторону AC. Поскольку F является серединой дуги BC, легко видеть, что ∠BFC = 90°. Также, по построению, ∠BAC = ∠AFC, поэтому в ΔAFC мы имеем ∠AFC = 90° - ∠AFC = ∠FAC. Таким образом, ΔAFC — прямоугольный. Теперь рассмотрим ΔFHC. Поскольку HF ⊥ AC, углы ∠FHC и ∠DHA являются вертикальными углами и, следовательно, равными. Из равенства ∠DHA = ∠FHC и того факта, что ∠AHD = ∠CFH (как соответствующие вертикальные углы), мы можем заключить, что ΔDHA ∼ ΔFHC (по признаку общего треугольника) и что соответствующие стороны пропорциональны: AH/HC = DH/FH. Из задачи также известно, что AB = AD и BE = EC, поэтому мы можем также найти сторонные отношения в ΔABC: AB/AC = BE/EC. Но поскольку AB = AD, мы можем заменить AB в этой пропорции: AD/AC = BE/EC. Теперь вспомним, что ΔAFC — прямоугольный, а значит, мы можем использовать теорему Пифагора в нем: AC² = AF² + FC². Поскольку F — середина дуги BC окружности, описанной около треугольника ABC, мы знаем, что AF = FC. Подставим это в предыдущее уравнение: AC² = AF² + AF² AC² = 2AF² AF = √(AC²/2). Теперь мы можем использовать найденное значение AF в пропорции ΔDHA ∼ ΔFHC: AH/HC = DH/FH 1 = DH/(√(AC²/2)) DH = √(AC²/2). Теперь мы имеем равенство AD = DH = √(AC²/2) и угол ∠DAH = ∠FHA (исходя из пропорции ΔDHA ∼ ΔFHC и по теореме Пифагора). Если мы рассмотрим ΔBDA и ΔFHA, то у нас есть два равных прямоугольных треугольника с общим углом ∠DAH = ∠FHA и двумя сторонами AD = DH = √(AC²/2) и AB = AF. Следовательно, эти два треугольника равны. Это означает, что у них также равны противоположные углы: ∠BAD = ∠FAH. Наконец, поскольку ∠BAD = ∠FAH и ∠BAF = ∠HAE (как соответствующие углы между параллельными линиями AF и HE), мы можем заключить, что ∠BAF = ∠HAE. Таким образом, по свойству касательной и противоположных углов, мы выводим, что точки B, E, D, F лежат на одной окружности.