№5 Двигаясь равномерно по круговой дорожке радиусом 1 км, велосипедист проходит каждый круг за 8 мин. Чему равны пройденный велосипедистом путь и его перемещение: а) за 2 мин; б) за 4 мин; в) за 8 мин; г) за 12 мин?

Задача о равномерном движении по кругу радиусом R = 1 км. 1) Сколько проходит путь за одну окружность: C = 2πR = 2π км. 2) Скорость велосипедиста: за 8 минут проходит одну окружность, значит v = C / 8 = (2π) / 8 = π/4 км/мин. 3) Формулы для искомых величин за время t (минут): - пройденный путь S = v t = (π/4) t км. - угловое перемещение по кругу φ = (2π / 8) t = (π/4) t радиан. - перемещение как модуль хорды между начальной точкой и текущей точкой: D = 2R sin(φ/2) = 2 sin(φ/2) км, где R = 1 км и φ/2 = (π/8) t. Применим к данным пунктам: а) через 2 мин - S = (π/4)·2 = π/2 км ≈ 1.57 км - φ = (π/4)·2 = π/2 рад, φ/2 = π/4 рад - D = 2 sin(π/4) = 2 · (√2/2) = √2 км ≈ 1.41 км б) через 4 мин - S = (π/4)·4 = π км ≈ 3.14 км - φ = (π/4)·4 = π рад, φ/2 = π/2 рад - D = 2 sin(π/2) = 2 км в) через 8 мин - S = (π/4)·8 = 2π км ≈ 6.28 км - φ = (π/4)·8 = 2π рад, φ/2 = π рад - D = 2 sin(π) = 0 км (возврат к стартовой точке) г) через 12 мин - S = (π/4)·12 = 3π км ≈ 9.42 км - φ = (π/4)·12 = 3π рад, φ/2 = 3π/2 рад - D = 2 sin(3π/2) = -2 км, по величине displacement = 2 км (направление соответствует дуге, текущая точка на три четверти круга от старта) Итого: - Путь: а) ≈ 1.57 км, б) ≈ 3.14 км, в) ≈ 6.28 км, г) ≈ 9.42 км. - Перемещение (модуль): а) ≈ 1.41 км, б) 2 км, в) 0 км, г) 2 км.