№5 Двигаясь равномерно по круговой дорожке радиусом 1 км, велосипедист проходит каждый круг за 8 мин. Чему равны пройденный велосипедистом путь и его перемещение: а) за 2 мин; б)…
№5 Двигаясь равномерно по круговой дорожке радиусом 1 км, велосипедист проходит каждый круг за 8 мин. Чему равны пройденный велосипедистом путь и его перемещение: а) за 2 мин; б) за 4 мин; в) за 8 мин; г) за 12 мин?
Задача о равномерном движении по кругу радиусом R = 1 км.
Сколько проходит путь за одну окружность: C = 2πR = 2π км.
Скорость велосипедиста: за 8 минут проходит одну окружность, значит v = C / 8 = (2π) / 8 = π/4 км/мин.
Формулы для искомых величин за время t (минут):
- пройденный путь S = v t = (π/4) t км.
- угловое перемещение по кругу φ = (2π / 8) t = (π/4) t радиан.
- перемещение как модуль хорды между начальной точкой и текущей точкой: D = 2R sin(φ/2) = 2 sin(φ/2) км, где R = 1 км и φ/2 = (π/8) t.
Применим к данным пунктам:
а) через 2 мин
- S = (π/4)·2 = π/2 км ≈ 1.57 км
- φ = (π/4)·2 = π/2 рад, φ/2 = π/4 рад
- D = 2 sin(π/4) = 2 · (√2/2) = √2 км ≈ 1.41 км
б) через 4 мин
- S = (π/4)·4 = π км ≈ 3.14 км
- φ = (π/4)·4 = π рад, φ/2 = π/2 рад
- D = 2 sin(π/2) = 2 км
в) через 8 мин
- S = (π/4)·8 = 2π км ≈ 6.28 км
- φ = (π/4)·8 = 2π рад, φ/2 = π рад
- D = 2 sin(π) = 0 км (возврат к стартовой точке)
г) через 12 мин
- S = (π/4)·12 = 3π км ≈ 9.42 км
- φ = (π/4)·12 = 3π рад, φ/2 = 3π/2 рад
- D = 2 sin(3π/2) = -2 км, по величине displacement = 2 км (направление соответствует дуге, текущая точка на три четверти круга от старта)
Итого:
- Путь: а) ≈ 1.57 км, б) ≈ 3.14 км, в) ≈ 6.28 км, г) ≈ 9.42 км.
- Перемещение (модуль): а) ≈ 1.41 км, б) 2 км, в) 0 км, г) 2 км.
Обсуждение
2 сообщениясделай проще
Хорошо, давай упростим решение.
Длина окружности (путь за один круг):
\( C = 2\pi R \)
Так как радиус \( R = 1 \) км:
\( C = 2\pi \) км ≈ 6.28 км.Время одного круга: 8 минут.
Скорость велосипедиста:
\( v = \frac{C}{8} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \) км/мин.
Теперь вычислим путь и перемещение для каждого пункта:
а) Через 2 минуты:
- Путь:
\( S = v \cdot t = \frac{\pi}{4} \cdot 2 = \frac{\pi}{2} \) км ≈ 1.57 км. - Перемещение:
Угол за 2 минуты: \( \frac{2}{8} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2} \) радиан;
Перемещение = хорда: \( 2 \cdot R \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \) км ≈ 1.41 км.
б) Через 4 минуты:
- Путь:
\( S = v \cdot 4 = \frac{\pi}{4} \cdot 4 = \pi \) км ≈ 3.14 км. - Перемещение:
Угол за 4 минуты: \( \pi \) радиан;
Перемещение = хорда: \( 2 \cdot R \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2 \) км.
в) Через 8 минут:
- Путь:
\( S = v \cdot 8 = \frac{\pi}{4} \cdot 8 = 2\pi \) км ≈ 6.28 км. - Перемещение:
Угол за 8 минут: \( 2\pi \) радиан (вернулся на старт);
Перемещение = 0 км.
г) Через 12 минут:
- Путь:
\( S = v \cdot 12 = \frac{\pi}{4} \cdot 12 = 3\pi \) км ≈ 9.42 км. - Перемещение:
Угол за 12 минут: \( 3\pi \) радиан;
Перемещение = хорда: \( 2 \cdot 1 \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -2\) км (по модулю 2 км).
Результаты:
- а) Путь: ≈ 1.57 км, Перемещение: ≈ 1.41 км.
- б) Путь: ≈ 3.14 км, Перемещение: 2 км.
- в) Путь: ≈ 6.28 км, Перемещение: 0 км.
- г) Путь: ≈ 9.42 км, Перемещение: 2 км.
