I got up early and (have) a shower

Правильная форма глагола: had.

Полное предложение: I got up early and had a shower.

Пояснение по шагам:

• Вторая часть предложения — тоже описание действий в прошлом (past simple) после первой части "I got up early" (я встал рано). Чтобы сохранить последовательность во времени, второе действие тоже ставим в простое прошедшее: "had".
• Глагол в скобках "(have)" нужно привести к прошедшему времени: "have" → "had".
• Фраза "have a shower" означает «принять душ». В британском английском чаще говорят "have a shower", в американском чаще "take a shower"; здесь оба варианта понятны, но в сочетании с прошедшим чаще употребляют "had a shower".

Дополнительные примеры и заметки:

• I got up early and had a shower. (корректно)
• I woke up early and had a shower. (вариант с другим глаголом в прошедшем)
• I got up early, then I had a shower. (вариант с более явным последовательным обозначением)
• В настоящем времени: I get up early and have a shower. (используется для описания обычной рутины)

Ошибки, которых стоит избегать:

• I got up early and have a shower — здесь вторая часть стоит в настоящем времени, что не согласуется с первым past времени.
• I got up early and took a shower — это тоже допустимая замена, если заменить на American/British стиль, но смысл тот же: обе части в прошлом.