производная функция у=(х^2-1) (х^4+2)

Задача: найти производную y = (x^2 - 1)(x^4 + 2).

Шаги решения (пошагово, с объяснениями):

• Применяем правило произведения: если y = u(x) · v(x), то y' = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x).
• Обозначим u = x^2 - 1, v = x^4 + 2.
  • u' = 2x.
  • v' = 4x^3.
• Тогда производная: y' = 2x · (x^4 + 2) + (x^2 - 1) · 4x^3.

Раскрывая скобки:

• 2x · (x^4 + 2) = 2x^5 + 4x.
• (x^2 - 1) · 4x^3 = 4x^3 · x^2 - 4x^3 = 4x^5 - 4x^3.

Сложим все части:

• y' = (2x^5 + 4x) + (4x^5 - 4x^3) = 6x^5 - 4x^3 + 4x.

Удобнее записать в факторизированном виде:

• y' = 2x(3x^4 - 2x^2 + 2).

Дополнительные замечания (для лучшего понимания):

• Часть 3x^4 - 2x^2 + 2 положительна для всех реальных x: пусть t = x^2 ≥ 0, тогда выражение становится 3t^2 - 2t + 2, дискриминант которого D = (-2)^2 - 4·3·2 = 4 - 24 = -20 < 0, следовательно корней нет и выражение всегда положительно. Поэтому знак производной в основном определяется множителем 2x.
• Следовательно y' < 0 при x < 0 и y' > 0 при x > 0. Функция имеет локальный минимум в точке x = 0.
• Значение функции в этой точке: y(0) = (0^2 - 1)(0^4 + 2) = (-1)(2) = -2. Таким образом, локальный минимум равен -2 при x = 0.

Ответ:

• Производная: dy/dx = 6x^5 - 4x^3 + 4x = 2x(3x^4 - 2x^2 + 2).