Производная функция у=(х^2-1) (х^4+2)

Задача: найти производную y = (x^2 - 1)(x^4 + 2). Шаги решения (пошагово, с объяснениями): - Применяем правило произведения: если y = u(x) · v(x), то y' = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x). - Обозначим u = x^2 - 1, v = x^4 + 2. - u' = 2x. - v' = 4x^3. - Тогда производная: y' = 2x · (x^4 + 2) + (x^2 - 1) · 4x^3. Раскрывая скобки: - 2x · (x^4 + 2) = 2x^5 + 4x. - (x^2 - 1) · 4x^3 = 4x^3 · x^2 - 4x^3 = 4x^5 - 4x^3. Сложим все части: - y' = (2x^5 + 4x) + (4x^5 - 4x^3) = 6x^5 - 4x^3 + 4x. Удобнее записать в факторизированном виде: - y' = 2x(3x^4 - 2x^2 + 2). Дополнительные замечания (для лучшего понимания): - Часть 3x^4 - 2x^2 + 2 положительна для всех реальных x: пусть t = x^2 ≥ 0, тогда выражение становится 3t^2 - 2t + 2, дискриминант которого D = (-2)^2 - 4·3·2 = 4 - 24 = -20 < 0, следовательно корней нет и выражение всегда положительно. Поэтому знак производной в основном определяется множителем 2x. - Следовательно y' < 0 при x < 0 и y' > 0 при x > 0. Функция имеет локальный минимум в точке x = 0. - Значение функции в этой точке: y(0) = (0^2 - 1)(0^4 + 2) = (-1)(2) = -2. Таким образом, локальный минимум равен -2 при x = 0. Ответ: - Производная: dy/dx = 6x^5 - 4x^3 + 4x = 2x(3x^4 - 2x^2 + 2).