0,4(16)

Задача: 0,4(16) означает десятичную дробь 0,4161616… (последовательность 16 повторяется после первого десятичного знака 4).

Пошаговое решение

1. Обозначим x как искомую дробь: x = 0,4161616…

2. Умножим на 100, чтобы «сместить» повторяющуюся часть так, чтобы она начиналась после десятичной точки сразу после числа: 100x = 41,6161616…

3. Вычтем первое равенство из второго: 100x − x = 99x 41,6161616… − 0,4161616… = 41,2 Получаем: 99x = 41,2

4. Найдём x: x = 41,2 / 99 = 412 / 990 = 206 / 495

5. Проверка на простоту дроби: gcd(206, 495) = 1, значит дробь 206/495 записана в несократимом виде.

Итого:

• В виде дроби: 206/495
• В виде десятичной дроби: 0,4161616… (с периодом 16)
• Приближённо: 0,4161616…

Дополнительное пояснение

• Метод с умножением на 100 удобен, потому что период повторения состоит из двух цифр (16) и начинается после первого ненулевого знака. Это позволяет затем вычесть и получить линейное уравнение для x.