производеый корень из x

Разберём задачу: найти производную от функции f(x) = sqrt(x).

Пошагово:

1. Запишем корень через степень: sqrt(x) = x^(1/2).
2. Применим степенной правило: d/dx [x^n] = n x^(n-1). Здесь n = 1/2, значит производная будет (1/2) x^(−1/2).
3. Преобразуем обратно к корню: (1/2) x^(−1/2) = 1/(2 sqrt(x)).

Уточнения по области определения:

• Функция f(x) = sqrt(x) определена для x ≥ 0.
• Производная существует только для x > 0 и равна f'(x) = 1/(2 sqrt(x)).
• В точке x = 0 производная не существует (граница становится вертикальной). Это можно увидеть по пределу: lim_{h→0+} (sqrt(h) − 0)/h = lim_{h→0+} 1/√h = ∞.

Примеры:

• При x = 4: f'(4) = 1/(2 sqrt(4)) = 1/(2·2) = 1/4.
• При x = 1: f'(1) = 1/(2 sqrt(1)) = 1/2.

Итого: Ответ: производная sqrt(x) равна f'(x) = 1/(2 sqrt(x)) для x > 0 (не существует на x = 0).