6¹/³ -8

Задача: 6¹/³ - 8 означает ∛6 − 8 (кубический корень из 6 минус 8).

Пошаговое решение

1. Интерпретация

• ∛6 − 8 = cube root of 6 minus 8.
• Это выражение нельзя алгебраически упростить до рационального числа, остаётся в виде ∛6 − 8.

2. Оценка ∛6

• Так как 1³ = 1 и 2³ = 8, ∛6 лежит между 1 и 2. Он ближе к 2, поэтому приблизительно ~1.8.
• Можно точнее посчитать с помощью метода Ньютона для решения f(x) = x³ − 6 = 0.

3. Пример вычисления (Newton's method)

• Пусть x₀ = 1.8.
• f(x) = x³ − 6, f(x₀) = 1.8³ − 6 = 5.832 − 6 = −0.168.
• Производная f'(x) = 3x², f'(x₀) = 3·(1.8)² = 3·3.24 = 9.72.
• Исправление: x₁ = x₀ − f(x₀)/f'(x₀) = 1.8 − (−0.168)/9.72 ≈ 1.8 + 0.01728 ≈ 1.81728.
• Можно сделать ещё одну итерацию, но уже ε ≈ 0.001. ∛6 ≈ 1.8173.

4. Финальный результат

• Точное выражение: ∛6 − 8.
• Приближённо: ∛6 ≈ 1.8173, значит ∛6 − 8 ≈ 1.8173 − 8 = −6.1827 (округлено до 4 знаков после запятой) или ≈ −6.183 (до трёх знаков).

Ответ

• Точное: ∛6 − 8
• Приближённо: −6.183 (при округлении до трёх знаков)