У=2х²+8х+2

Задача: y = 2x^2 + 8x + 2. Поскольку цель — понять, разберём подробно. 1) Общая характеристика - Это квадратная функция (парабола) с a = 2 > 0, следовательно, график открывается вверх и у неё есть минимум. - Чтобы понять график и корни, удобнее привести форму к канонической (вершинной): y = a(x − x0)^2 + y0, где (x0, y0) — вершина. 2) Приведём к каноническому виду (заводим квадрат) - Начинаем: y = 2x^2 + 8x + 2. - Выносим множитель 2 из первых двух членов: y = 2(x^2 + 4x) + 2. - Чтобы дописать квадрат, добавим и вычтем внутри скобок необходимый член: x^2 + 4x = (x + 2)^2 − 4. - Подставляем: y = 2[(x + 2)^2 − 4] + 2 = 2(x + 2)^2 − 8 + 2 = 2(x + 2)^2 − 6. Или короче: y = 2(x + 2)^2 − 6. 3) Вершина и ось симметрии - Координата x вершины равна x0 = −b/(2a) = −8/(2·2) = −2. - Значение функции в вершине: y0 = f(−2) = 2(−2)^2 + 8(−2) + 2 = 8 − 16 + 2 = −6. - Значит вершина параболы: (−2, −6), ось симметрии: x = −2. - Со стороны канонической формы: y = 2(x + 2)^2 − 6, минимальное значение −6 при x = −2. 4) Корни (пересечения с осью Ox) - Равнение y = 0: 2x^2 + 8x + 2 = 0. Можно разделить на 2: x^2 + 4x + 1 = 0. - Дискриминант D = b^2 − 4ac = 4^2 − 4·1·1 = 16 − 4 = 12. Корни: x = [−b ± √D]/(2a) = [−4 ± √12]/2 = [−4 ± 2√3]/2 = −2 ± √3. - Численно: √3 ≈ 1.732, значит корни примерно x1 ≈ −3.732 и x2 ≈ −0.268. 5) Факторизация (альтернатива форме) - Можно записать как y = 2[(x + 2)^2 − 3] = 2[(x + 2 − √3)(x + 2 + √3)]. - Также как произведение двух линейных факторов: y = 2(x − x1)(x − x2) = 2[x − (−2 − √3)][x − (−2 + √3)]. 6) Дополнительные характеристики - Значение при x = 0 (y-перехват): y(0) = 2·0^2 + 8·0 + 2 = 2. - Домен функции: все вещественные числа. - Парабола симметрична относительно оси x = −2. Краткое резюме - Каноническая форма: y = 2(x + 2)^2 − 6. - Вершина: (−2, −6). Ось симметрии: x = −2. - Корни: x = −2 ± √3 (приближённо −3.732 и −0.268). - Минимум функции: y_min = −6 на вершине. - Факторизация: y = 2[(x + 2)^2 − 3] = 2(x + 2 − √3)(x + 2 + √3).