Задача: A — множество чётных чисел; B — множество чисел, кратных 4. Рассмотрим множества целых чисел Z.
Пояснения и ответ
1) Что значит каждый из множеств
- A = { n ∈ Z | существует k ∈ Z, n = 2k } — все чётные числа.
- B = { n ∈ Z | существует k ∈ Z, n = 4k } — все числа, кратные 4 (4, 8, 12, …; и отрицательные: -4, -8, …; а также 0).
2) Связь между A и B
- Любое число, кратное 4, обязательно чётное, потому что 4k = 2(2k). Следовательно, B ⊆ A.
- Однако в A есть чётные числа, которые не кратны 4, например 2, 6, 10, …, а также их отрицательные аналоги. Значит A ≠ B.
3) Формальные выводы
- B ⊆ A
- A ∩ B = B (поскольку все элементы B уже принадлежат A)
- A ∪ B = A (поскольку B не добавляет ничего нового к A)
- Разность A \ B (чётные, но не кратные 4) = { n ∈ Z | n ≡ 2 (mod 4) }. Примеры: … -6, -2, 2, 6, 10, …
4) Примеры элементов
- Примеры A: …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, …
- Примеры B: …, -8, -4, 0, 4, 8, …
- Примеры A \ B: …, -6, -2, 2, 6, 10, …
Итого: B ⊆ A, A ∩ B = B, A ∪ B = A, A \ B состоит из чётных чисел, которые не делятся на 4 (числа ≡ 2 mod 4).
