(12a-b)²-(9a-b)(16a+2b)

Задача: (12a − b)² − (9a − b)(16a + 2b)

Цель: понять, подробное решение с объяснениями.

Пошаговое решение:

1. Раскроем квадрат (12a − b)².

• Формула: (x − y)² = x² − 2xy + y².
• Получаем: (12a)² − 2·12a·b + b² = 144a² − 24ab + b².

2. Раскроем произведение (9a − b)(16a + 2b) с помощью распределения (FOIL).

• Сначала умножим 9a на каждый член второй скобки: 9a·16a = 144a², 9a·2b = 18ab.
• Затем умножим −b на каждый член второй скобки: (−b)·16a = −16ab, (−b)·2b = −2b².
• Сложим полученные части: 144a² + 18ab − 16ab − 2b² = 144a² + 2ab − 2b².

3. Вычтем второе произведение из первого квадрата.

• Запишем: [144a² − 24ab + b²] − [144a² + 2ab − 2b²].
• Раскроем скобки и сложим подобные члены:
  • 144a² − 144a² ≡ 0
  • −24ab − 2ab = −26ab
  • b² − (−2b²) = b² + 2b² = 3b²
• Итог: 3b² − 26ab.

4. Можно вынести общий множитель b:

• 3b² − 26ab = b(3b − 26a).

Ответ: 3b² − 26ab, что эквивалентно b(3b − 26a).

Проверка (быстрая): подставим, например, a = 1, b = 2.

• (12a − b)² = (12·1 − 2)² = 10² = 100.
• (9a − b)(16a + 2b) = (9·1 − 2)(16·1 + 2·2) = 7·20 = 140.
• Разность: 100 − 140 = −40.
• Наш результат: 3b² − 26ab = 3·4 − 26·1·2 = 12 − 52 = −40. Совпало.