начертите выпуклый пятиугольник и шестиугольник.В каждом многоугольника из какой - нибудь вершины проведите все диагонали. На сколько треугольников разделяют проведённые диагональ…

Задача понятна. Рассмотрим по шагам для пятиугольника и шестиугольника, когда из одной вершины проведены все диагонали.

Общие идеи

• В выпуклом многоугольнике из одной вершины можно провести диагонали ко всем не соседним вершинам.
• Эти диагонали делят многоугольник на несколько треугольников. Если n — число сторон, то из одной вершины получится n−2 треугольников (это стандартная стратагемма разбиения на треугольники).

1. Пятиугольник

• Пусть вершины выпуклого пятиугольника обозначим по порядку A, B, C, D, E.
• Из вершины A проведём диагонали к неприкасательным вершинам: к C и к D. (Диагонали к B и к E — это стороны, их проводить нельзя.)
• Разбиение: треугольники
  • ΔABC (между сторонами AB и диагональю AC)
  • ΔACD (между диагональю AC и диагональю AD)
  • ΔADE (между диагональю AD и стороны AE)
• Итог: пятиугольник разбивается на 3 треугольника.

2. Шестиугольник

• Пусть вершины выпуклого шестиугольника обозначим по порядку A, B, C, D, E, F.
• Из вершины A проведём диагонали к неприкасательным вершинам: к C, к D и к E.
• Разбиение: треугольники
  • ΔABC
  • ΔACD
  • ΔADE
  • ΔAEF
• Итог: шестиугольник разбивается на 4 треугольника.

Обобщение

• Для любого выпуклого n-угольника, если из одной вершины провести все диагонали к остальным не соседним вершинам, то он разбивается на n−2 треугольников.
• В нашем случае:
  • pentagon (n = 5) → 5 − 2 = 3 треугольника
  • hexagon (n = 6) → 6 − 2 = 4 треугольника

Если нужно, могу привести компактную схему (номера вершин и треугольники в виде списка или простую схему на бумаге).