7x²+5xy-12y²
Задача: факторизовать выражение 7x^2 + 5xy - 12y^2.
Пошаговое решение (для 11 класса, цель — понять):
- Общая идея Ищем разложение вида (ax + by)(cx + dy), чтобы получился 7x^2 + 5xy - 12y^2. Тогда должны выполняться условия:
- ac = 7
- bd = -12
- ad + bc = 5
Так как 7 простое, можно взять один фактор с коэффициентом 7: a = 7, c = 1 (или наоборот).
- Выбор конкретного разложения Пусть факторизация имеет вид (7x + p y)(x + q y). Тогда:
- bd = p q = -12
- ad + bc = 7q + p = 5
Найдем целые пары (p, q) с p q = -12 и 7q + p = 5. Пробуем пары, подходящие под p q = -12. Одна из подходящих пар: p = 12, q = -1. Проверим: 7q + p = 7(-1) + 12 = -7 + 12 = 5 — подходит.
Значит, разложение: (7x + 12y)(x - y)
Проверка разложения Раскроем скобки: (7x + 12y)(x - y) = 7x^2 - 7xy + 12xy - 12y^2 = 7x^2 + 5xy - 12y^2. Совпадает с исходным выражением.
Альтернативный метод (кратко) Рассматриваем как квадратное уравнение по x: 7x^2 + 5xy - 12y^2. Дискриминант Δ = (5y)^2 - 4·7·(-12y^2) = 25y^2 + 336y^2 = 361y^2 = (19y)^2. Корни по x: x = [ -5y ± 19y ] / (2·7) дают x = y и x = -12y/7. Соответственно разложение можно записать как (7x - 7y)(x + 12y/7) и привести к целочисленным коэффициентам даст же точно (7x + 12y)(x - y).
Итог: 7x^2 + 5xy - 12y^2 = (7x + 12y)(x - y).
