Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если :а) ВС=8, АВ=17;б) ВС=21, АС=20;в) ВС=1, АС=2;г) АС=24, АВ=25

Нужно помнить: в прямоугольном треугольнике C = 90°, следовательно AB — гипотенуза, и по теореме Пифагора AB^2 = BC^2 + AC^2. Для углов A и B:

• sin A = BC/AB, cos A = AC/AB, tan A = BC/AC
• sin B = AC/AB, cos B = BC/AB, tan B = AC/BC

a) BC = 8, AB = 17

• Найдём AC: AC^2 = AB^2 − BC^2 = 17^2 − 8^2 = 289 − 64 = 225 → AC = 15
• sin A = BC/AB = 8/17
• cos A = AC/AB = 15/17
• tan A = BC/AC = 8/15
• sin B = AC/AB = 15/17
• cos B = BC/AB = 8/17
• tan B = AC/BC = 15/8

б) BC = 21, AC = 20

• Найдём AB: AB = √(BC^2 + AC^2) = √(21^2 + 20^2) = √(441 + 400) = √841 = 29
• sin A = BC/AB = 21/29
• cos A = AC/AB = 20/29
• tan A = BC/AC = 21/20
• sin B = AC/AB = 20/29
• cos B = BC/AB = 21/29
• tan B = AC/BC = 20/21

в) BC = 1, AC = 2

• AB = √(BC^2 + AC^2) = √(1^2 + 2^2) = √5
• sin A = BC/AB = 1/√5 = √5/5
• cos A = AC/AB = 2/√5 = 2√5/5
• tan A = BC/AC = 1/2
• sin B = AC/AB = 2/√5 = 2√5/5
• cos B = BC/AB = 1/√5 = √5/5
• tan B = AC/BC = 2

г) AC = 24, AB = 25

• BC = √(AB^2 − AC^2) = √(25^2 − 24^2) = √(625 − 576) = √49 = 7
• sin A = BC/AB = 7/25
• cos A = AC/AB = 24/25
• tan A = BC/AC = 7/24
• sin B = AC/AB = 24/25
• cos B = BC/AB = 7/25
• tan B = AC/BC = 24/7

Примечания

• Все углы A и B в таком треугольнике острые, поэтому синусы и косинусы положительны.
• Для быстро-доступной проверки можно заметить т.н. парные отношения: sin A = cos B и cos A = sin B, tan A = 1/tan B, что следует из того, что A и B — complemento друг друга.