(х-3) /х(х+3)

Задача: разложить выражение (x − 3) / [x(x + 3)] на простые дроби и разобраться с доменом. 1) Домашнее задание и домен - Обозначим выражение F(x) = (x − 3) / [x(x + 3)]. - Область определения: знаменатель не равен нулю, то есть x ≠ 0 и x ≠ −3. 2) Разложение на простые дроби - Предположим, что F(x) можно записать как A/x + B/(x + 3). - Тогда: (x − 3) / [x(x + 3)] = A/x + B/(x + 3) ⇒ x − 3 = A(x + 3) + Bx = (A + B)x + 3A. 3) Система для коэффициентов - По сравнение коэффициентов по x и свободного члена получаем систему: • A + B = 1 • 3A = −3 - Из второго уравнения A = −1. Подставляя в первый: −1 + B = 1 ⇒ B = 2. 4) Итог разложения - Таким образом, (x − 3) / [x(x + 3)] = −1/x + 2/(x + 3). 5) Проверка (проверочный шаг) - Проверяем сложением: −1/x + 2/(x + 3) = [−(x + 3) + 2x] / [x(x + 3)] = (x − 3) / [x(x + 3)], что совпадает с исходным выражением. 6) Примечания по домену и графику - Доменные ограничения остаются: x ≠ 0 и x ≠ −3. - Графически функция имеет два асимптота по оси x: x = 0 и x = −3. - Пересечение оси Ox: числитель равен нулю, x − 3 = 0 ⇒ x = 3 (при δ ≠ 0), поэтому точка (3, 0). Итого: оригинальное выражение эквивалентно −1/x + 2/(x + 3) с доменом x ∈ R, x ≠ 0, x ≠ −3. Если нужно, можно привести решение в виде проверки через сложение или использовать для интеграции (частные дроби).